Normale verdeling

Opgave 7Lengte van vrouwen

Lengte van vrouwen

In deze opgave bekijk je de lengte van Nederlandse vrouwen. In de loop van deze eeuw zijn de Nederlandse vrouwen steeds langer geworden. De confectie-industrie heeft deze ontwikkeling gevolgd. Dat heeft voor een bepaalde categorie vrouwen onprettige gevolgen gehad.
Neem aan dat in elk jaar de lengte van vrouwen normaal verdeeld is. Bekend is dat in 1900 de gemiddelde lengte van de Nederlandse vrouw $160$ cm was (zie figuur) met een standaardafwijking van $5,7$ cm.

a

Bereken hoeveel procent van de vrouwen in dat jaar een lengte tussen $154$ cm en $170$ cm had.

De confectie-industrie richtte zich gedurende een lange periode op de vrouwen van $154$ cm tot $170$ cm. In 1960 vielen precies de "middelste" $82$ % van de vrouwen in deze lengtematen. Dat wil zeggen dat $9$ % van de vrouwen kleiner was dan $154$ cm en $9$ % groter was dan $170$ cm. De gemiddelde lengte van de Nederlandse vrouw was in 1960 dus toegenomen tot $162$ cm. Ook de spreiding was iets groter geworden.

b

Bereken de standaardafwijking van de lengte van de Nederlandse vrouw in 1960.

In 1995 is de gemiddelde lengte van de vrouwen in Nederland inmiddels $170$ cm geworden met een standaardafwijking van $6,4$ cm. Hoewel de confectie-industrie zich in 1995 op een groter percentage richt, namelijk op de 'middelste' 90% van de vrouwen, doet zich toch een bijzonder verschijnsel voor. De vrouwen met een lengte van $154$ cm tot $170$ cm konden in 1960 zonder problemen confectiekleding kopen. Onder deze vrouwen echter is een categorie waarvan de lengte zo is dat ze in 1995 niet meer zonder problemen confectiekleding kunnen kopen. De vrouwen uit deze categorie blijken in 1995 te klein voor confectiekleding.

c

Welke lengten leidden in 1960 niet maar in 1995 wel tot problemen bij het kopen van confectiekleding? Licht je antwoord toe.

(bron: examen wiskunde A havo 1998, eerste tijdvak, opgave 5)

Opgave 8Tennisballen

Tennisballen

Een fabrikant maakt tennisballen. Deze fabrikant wil dat zijn product bij competitiewedstrijden en op toernooien gebruikt mag worden.
De Koninklijke Nederlandse Lawn Tennis Bond (KNLTB) stelt aan ballen die daarvoor gebruikt mogen worden de volgende eis: "Het gewicht van de bal dient te liggen tussen $56,7$ en $58,5$ g."
Het gewicht van de tennisballen van de fabrikant is normaal verdeeld met een gemiddelde van $57,6$ g en een standaardafwijking van $0,44$ g.

a

Laat zien dat ongeveer $96$ % van deze tennisballen aan de eis voldoet.

Verder stelt de KNLTB nog een eis aan de zogenaamde stuithoogte van de bal. In de KNLTB-reglementen staat:
"De bal wordt losgelaten op een hoogte van $254$ cm boven een betonnen vloer. De stuithoogte van de bal dient groter te zijn dan $135$ cm en kleiner dan $147$ cm. De stuithoogte te meten vanaf het vloeroppervlak tot onderkant bal."
De fabrikant heeft zelf vastgesteld dat $94$ % van zijn ballen voldoet aan deze tweede eis. Daarbij is ook gebleken dat de stuithoogte normaal verdeeld is met een gemiddelde van $141$ cm.

b

Bereken de standaardafwijking van de stuithoogte van deze ballen.

We nemen aan dat het gewicht van de bal geen invloed heeft op de stuithoogte.

c

Hoeveel procent van de door deze fabrikant gemaakte tennisballen zal aan beide eisen van de KNLTB voldoen? Licht je antwoord toe.

(bron: examen wiskunde A havo 1998, tweede tijdvak, opgave 5, gedeelte)

Opgave 9Verkeersdrempels

Verkeersdrempels

Verkeersdrempels zijn bedoeld om de snelheid van automobilisten te beïnvloeden. Afhankelijk van de gewenste snelheid in een straat worden drempels steiler of minder steil gemaakt. Hieronder staan twee voorbeelden.

De drempels met V85 = $50$ zijn zo ontworpen dat 85% van de automobilisten de drempel passeert met een snelheid van minder dan $50$ km/h. In de praktijk blijkt dat de passeersnelheid bij een drempel normaal verdeeld is. Bij de drempels met V85 = $50$ werd een gemiddelde passeersnelheid van 43,1 km/h gevonden, met een standaardafwijking van $6,6$ km/h.

a

Laat zien dat bij deze verdeling inderdaad $85$ % van de automobilisten niet harder dan $50$ km/h rijdt.

Voor een nieuwe praktijktest zal de passeersnelheid van $1200$ automobilisten worden gemeten bij een drempel met V85 = $50$ .

b

Bij hoeveel van deze $1200$ metingen kan, op grond van de eerdere ervaringen, een snelheid van meer dan $55$ km/h worden verwacht?

In een kinderrijke buurt worden verkeersdrempels met V85 = $20$ aangebracht. Dat betekent dus dat 850/0 van de automobilisten de drempel passeert met een snelheid van minder dan $20$ km/h. De passeersnelheid is ook nu normaal verdeeld, maar met een kleinere spreiding: de standaardafwijking is $2,1$ km/h.

c

Bereken de gemiddelde passeersnelheid, in km/h en in $1$ decimaal nauwkeurig, bij dit type drempels.

(bron: examen wiskunde A havo 1990)

Examenopgaven