Kansmodellen

Kansmodellen > Binomiale verdeling

12345Binomiale verdeling

Uitleg

Kleurenblindheid komt voor bij $8$ % van de westerse mannen. Of iemand kleurenblind is kun je niet aan zijn uiterlijk zien, dus iedere westerse man die je tegenkomt (en verder niet kent) heeft voor jou een kans van $0,08$ om kleurenblind te zijn. Vraag je een willekeurige westerse man of hij kleurenblind is of niet, dan doe je een kansexperiment met precies twee uitkomsten: "nee" als hij niet kleurenblind is en "ja" als dit wel het geval is.
Vraag je $10$ westerse mannen naar kleurenblindheid dan voer je dit experiment $10$ keer uit: je herhaalt $10$ keer hetzelfde experiment.
Noem je de bijbehorende variabele $K$ , dan is de kans dat er $2$ kleurenblinden bij zijn:
$P (K = 2) = (\begin{array}{l} 10 \\ 2 \end{array}) \cdot {(0,08)}^{2} \cdot {(0,92)}^{8} = 0,1478$

Je grafische rekenmachine heeft voor deze berekening een kansfunctie ingebouwd.
Je rekenmachine noemt dit: "binomial probability distribution function" .
Daarbij hoef je alleen het aantal herhalingen ( $10$ ), de kans op "ja" ( $0,08$ ) en de gewenste waarde van de stochast ( $2$ ) in te voeren om direct de kans $P (K = 2 | n = 10 en p = 0,08)$ te krijgen.

Dat de kans op $2$ kleurenblinden in deze steekproef zo klein is komt omdat je verwachtingswaarde bij een binomiaal kansmodel ook gewoon $8$ % van $10$ (de steekproefgrootte) is: $0,08 \cdot 10 = 0,8$ .
Gemiddeld zijn er in een steekproef van $10$ Westerse mannen $0,8$ kleurenblinden.

$K$ is de toevalsvariabele die het aantal kleurenblinden in een steekproef van $10$ westerse mannen aangeeft.

Vraag je nu naar de kans op hoogstens $2$ kleurenblinden in de steekproef dan moet je meerdere kansen optellen:
$P (K \leq 2) = P (K = 0) + P (K = 1) + P (K = 2)$ .

Nu heb je wel gezien dat je rekenmachine deze drie kansen snel kan bepalen, maar er is ook een afzonderlijke functie gemaakt voor "hoogstens"-kansen. Dat noem je een cumulatieve kansverdeling.
Je rekenmachine noemt dit: "binomial cumulative distribution function" .
In de GR-plaatjes zie je hoe dit werkt.

Opgave 2

In de Uitleg wordt besproken hoe je bij het berekenen van binomiale kansen de kansdverdelingen van de grafische rekenmachine kunt inzetten.

Werk van het practicum "Kansverdelingen met de grafische rekenmachine" het gedeelte over de binomiale verdeling door.

Reken zelf de kans op $2$ kleurenblinden in een groep van $10$ westerse mannen op beide manieren uit.

Bereken de kans op hoogstens $2$ kleurenblinden in die groep.

Hoe groot is de kans op minder dan $2$ kleurenblinden in die groep?

Opgave 3

Voor binomiale kansen op hoogstens een bepaald aantal heeft de rekenmachine een speciale kansfunctie. Voor binomiale kansen op minstens een bepaald aantal is dat niet het geval. Stel je voor dat je de kans op minstens $2$ kleurenblinden in een groep van $10$ westerse mannen wilt berekenen.

Waarom is deze kans samen met de kansen op $0$ of $1$ kleurenblinden gelijk aan $1$ ?

Bereken de kans op $0$ of $1$ kleurenblinden in die groep.

Bereken nu de kans op minstens $2$ kleurenblinden in die groep.

Opgave 4

Je moet $8$ vierkeuzevragen beantwoorden. Dat doe je op de gok, want je weet geen enkel antwoord. $X$ is het aantal vragen dat je goed beantwoordt.

Maak op je grafische rekenmachine met behulp van het kansverdelingenmenu een kansverdeling van $X$ .

Bereken met behulp van die kansverdeling de kans dat je hoogstens $3$ vragen goed hebt.

Bereken die kans nog eens, maar nu met behulp van de cumulatieve binomiale kansverdeling.

Bereken ook op deze beide manieren de kans dat je minstens $3$ vragen goed hebt.

verder | terug