$X=$ aantal leerlingen met contactlenzen in de steekproef.
$\text{P}(X=2)=\frac{8}{25}\cdot \frac{7}{24}\cdot \frac{17}{23}\cdot \frac{16}{22}\cdot \frac{15}{21}\cdot \left(\begin{array}{l}5\\ 2\end{array}\right)\approx \mathrm{0,3584}$

Zie de tabel.

$5\cdot \frac{8}{25}=\mathrm{1,6}$

$X=$ aantal leerlingen met contactlenzen in de steekproef.
$\text{P}(X=2)=\frac{420}{1400}\cdot \frac{419}{1399}\cdot \frac{980}{1398}\cdot \frac{979}{1397}\cdot \frac{978}{1396}\cdot \left(\begin{array}{l}5\\ 2\end{array}\right)\approx \mathrm{0,3086}$

$\text{P}(X=2|n=5\text{en}p=\mathrm{0,30})\approx \mathrm{0,3087}$. De benadering is tot op tienden van procenten gelijk aan de werkelijke kans. Met de binomiale verdeling rekent het veel gemakkelijker, zeker als het om grote populaties gaat.

$5\cdot \mathrm{0,30}=\mathrm{1,5}$

Anders moet je $50$ verschillende breuken met elkaar vermenigvuldigen...

$\text{P}(X=10|n=50\text{en}p=\mathrm{0,30})\approx \mathrm{0,0386}$

Zie voorbeeld.

$\mathrm{0,5513}$

Doen.

$\text{P}(M=2)=\frac{1200}{2000}\cdot \frac{1199}{1999}\cdot \frac{800}{1998}\cdot \frac{799}{1997}\cdot \left(\begin{array}{l}4\\ 2\end{array}\right)\approx \mathrm{0,3459}$

Gebruik de tabel met de benadering van de kansen m.b.v. de binomiale kansverdeling.
Je vindt ongeveer $\mathrm{0,5248}$.

De steekproef is nogal groot, je zou bij elke kans $50$ verschillende breuken moeten vermenigvuldigen. Omdat het een steekproef uit een nog heel veel grotere populatie is kun je de gewenste kansen goed binomiaal benaderen.

.

$50\cdot \mathrm{0,23}=\mathrm{11,5}$

$\text{P}(C=2|n=6\text{en}p=\frac{1}{3})\approx \mathrm{0,3292}$.

$\text{P}(H=0)=\frac{4}{6}\cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{2}{4}\cdot \frac{1}{3}\approx \mathrm{0,0667}$
$\text{P}(H=1)=\frac{2}{6}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{2}{3}\cdot 4\approx \mathrm{0,5333}$
$\text{P}(H=2)=\frac{2}{6}\cdot \frac{1}{5}\cdot \frac{4}{4}\cdot \frac{3}{3}\cdot 6\approx \mathrm{0,4}$

.

$\frac{5}{12}\cdot \frac{4}{11}\cdot \frac{7}{10}\cdot \frac{6}{9}\cdot 6\approx \mathrm{0,4242}$

$1-(\frac{8}{12}\cdot \frac{7}{11}\cdot \frac{6}{10}\cdot \frac{5}{9}+\frac{4}{12}\cdot \frac{8}{11}\cdot \frac{7}{10}\cdot \frac{6}{9}\cdot 4)\approx \mathrm{0,4061}$

$\frac{9}{12}\cdot \frac{8}{11}\cdot \frac{7}{10}\cdot \frac{6}{9}\approx \mathrm{0,2545}$

$4\cdot \frac{5}{12}=1\frac{2}{3}$

Een blik kan niet twee keer in de steekproef voorkomen. Het is dus een trekking zonder terugleggen.

$\frac{100}{1000}\cdot \frac{99}{999}\cdot \frac{98}{998}\cdot \frac{900}{997}\cdot \frac{899}{996}\cdot \frac{898}{995}\cdot \frac{897}{994}\cdot \frac{896}{993}\cdot \left(\begin{array}{l}8\\ 3\end{array}\right)\approx \mathrm{0,0326}$

$\text{P}(B=3|n=8\text{en}p=\mathrm{0,10})\approx \mathrm{0,0331}$. Het verschil tussen beide is $\mathrm{0,0005}$, dus $\mathrm{0,05}$%.

Het verschil is erg klein omdat het een kleine steekproef ($8$ stuks) uit een veel grotere populatie ($1000$ stuks) is.

$4\cdot \mathrm{0,4}=\mathrm{1,6}$

$\frac{8}{20}\cdot \frac{7}{19}\cdot \frac{6}{18}\cdot \frac{12}{17}\cdot 4\approx \mathrm{0,1387}$

$\text{P}(X=3|n=4\text{en}p=\mathrm{0,40})\approx \mathrm{0,1536}$. Deze kans wijkt $\mathrm{0,0149}$ af van de juiste kans, dat is behoorlijk veel.

$\frac{40}{100}\cdot \frac{39}{99}\cdot \frac{38}{98}\cdot \frac{60}{97}\cdot 4\approx \mathrm{0,1512}$

$\text{P}(X=3|n=4\text{en}p=\mathrm{0,40})\approx \mathrm{0,1536}$. Het verschil is nu veel kleiner. Hoe groter de populatie, hoe kleiner het verschil.

$\frac{5}{30}\cdot \frac{25}{29}\cdot \frac{24}{28}\cdot \frac{23}{27}\cdot 4\approx \mathrm{0,4196}$

$1-(\frac{25}{30}\cdot \frac{24}{29}\cdot \frac{23}{28}\cdot \frac{22}{27}+\frac{5}{30}\cdot \frac{25}{29}\cdot \frac{24}{28}\cdot \frac{23}{27}\cdot 4)\approx \mathrm{0,3872}$

$\frac{5}{30}\cdot \frac{4}{29}\cdot \frac{3}{28}\cdot \frac{25}{27}\cdot 4\approx \mathrm{0,0091}$

Zie de tabel.

Bij de derde decimaal treedt verschil op.

$5$%.

$\frac{20}{41}\cdot \frac{19}{40}\cdot \frac{18}{39}\cdot \frac{17}{38}\cdot \frac{16}{37}\cdot \frac{15}{36}\approx \mathrm{0,0086}$

$\frac{18}{39}\cdot \frac{17}{38}\cdot \frac{16}{37}\cdot \frac{15}{36}\approx \mathrm{0,0372}$

$\frac{14}{41}\cdot \frac{13}{40}\cdot \frac{12}{39}\cdot \frac{11}{38}\cdot \frac{10}{37}\cdot \frac{9}{36}\approx \mathrm{0,00068}$

$\frac{6}{41}\cdot \frac{5}{40}\cdot \frac{4}{39}\cdot \frac{3}{38}\cdot \frac{2}{37}\cdot \frac{1}{36}\approx \mathrm{0,0000002224}$