Kansmodellen

Kansmodellen > Niet-binomiale kansen

12345Niet-binomiale kansen

Uitleg

In een groep van $30$ personen hebben $10$ mensen een bepaalde eigenschap en de rest niet. Uit die groep wordt aselect een steekproef van $5$ getrokken.
M is het aantal mensen met deze eigenschap in deze steekproef.

Wil je nu een kansverdeling voor $M$ opstellen, dan bedenk je dat het hier gaat om trekking zonder terugleggen. Dit betekent dat de kansen afhankelijk zijn van elkaar en dat een binomiaal kansmodel niet mogelijk is.
De kans op bijvoorbeeld $M = 2$ kun je zo berekenen:

$P (M = 2) = \frac{10}{30} \cdot \frac{9}{29} \cdot \frac{20}{28} \cdot \frac{19}{27} \cdot \frac{18}{26} \cdot (\begin{array}{l} 5 \\ 2 \end{array}) \approx 0,3600$ .

Ga na, dat je deze kansverdeling krijgt:

$m$	0	1	2	3	4	5
$P (M = m)$	0,1088	0,3400	0,3600	0,1600	0,0295	0,0018

Je kunt met behulp van de tabel de verwachting berekenen.
Je vindt $Ε (M) \approx 1,667$ .
Kennelijk gaat $Ε (M) = 5 \cdot \frac{10}{30} = 1 \frac{2}{3}$ ook hier op.

In een groep van $30.000$ personen hebben $10.000$ mensen een bepaalde eigenschap en de rest niet. Uit die groep wordt aselect een steekproef van $5$ getrokken.
$M$ is het aantal mensen met deze eigenschap in deze steekproef.

$P (M = 2) = \frac{10.000}{30.000} \cdot \frac{9999}{29.999} \cdot \frac{20.000}{29.998} \cdot \frac{19.999}{29.997} \cdot \frac{19998}{29.996} \cdot (\begin{array}{l} 5 \\ 2 \end{array}) \approx 0,3292$ .

Nu verschilt een breuk als $\frac{9999}{29999}$ vrijwel niet van $\frac{10000}{30000}$ = $\frac{1}{3}$ .

En daarom kun je als je een kleine steekproef uit een heel grote populatie trekt toch wel het binomiale kansmodel gebruiken, hoewel het eigenlijk niet om gelijke kansen gaat. Zie maar:

$P (M = 2) = {(\frac{1}{3})}^{2} \cdot {(\frac{2}{3})}^{3} (\begin{array}{l} 5 \\ 2 \end{array}) \approx 0,3292$ .

Zelfs op vier decimalen nauwkeurig zijn beide kansen gelijk. In de praktijk wordt bij een steekproef uit een heel veel grotere populatie waarbij het gaat om het wel of niet hebben van een bepaalde eigenschap gewoon het binomiale kansmodel gebruikt.

Opgave 2

In de Uitleg wordt besproken hoe er bij het trekken van een steekproef rekening mee moet houden dat dit zonder teruglegging gebeurt.
In een klas van $25$ leerlingen dragen $8$ personen contactlenzen. Uit deze klas trek je een aselecte steekproef van $5$ leerlingen.

Bereken de kans dat $2$ leerlingen in die steekproef contactlenzen dragen.

Stel een kansverdeling op voor het aantal leerlingen met contactlenzen in de steekproef.

Hoeveel leerlingen met contactlenzen verwacht je in de steekproef?

Opgave 3

Stel je voor dat op een school van $1400$ leerlingen $30$ % van de leerlingen contactlenzen draagt. Weer trek je een aselecte steekproef van $5$ leerlingen.

Bereken de kans dat $2$ leerlingen in die steekproef contactlenzen dragen.

Doe dit ook door een binomiale verdeling te gebruiken. Levert dit een goede benadering op? Wat is het voordeel van het gebruiken van een binomiaal kansmodel?

Hoeveel leerlingen met contactlenzen verwacht je in de steekproef?

Opgave 4

Je weet dat $30$ % van de leerlingen van een school met $1400$ leerlingen contactlenzen dragen. Je trekt nu een steekproef van $50$ . Je wilt de kans berekenen dat er $10$ personen in de steekproef contaclenzen dragen.

Waarom zul je dit met een binomiale kansverdeling aanpakken?

Bereken de gevraagde kans.

verder | terug