Afgeleide functies

Afgeleide functies > Het begrip afgeleide

12345Het begrip afgeleide

Voorbeeld 3

De opbrengst $R$ bij de verkoop van een bepaald product hangt af van het aantal producten $q$ dat je verkoopt. Niet altijd neemt de opbrengst toe als je meer verkoopt, want soms moet je om meer te kunnen verkopen de prijs per stuk laten zakken. Daarom kan de opbrengst onder bepaalde economische omstandigheden worden gegeven door $R = - q^{2} + 24 q$ , waarin $R$ in honderden euro en $q$ in duizenden eenheden.
Bij welke aantal verkochte eenheden is de opbrengst zo groot mogelijk?

> antwoord

Bepaal eerst de afgeleide. Begin met het differentiequotiënt op $[q, q + h]$ :

$\frac{Δ R}{Δ q} = \frac{- {(q + h)}^{2} + 24 (q + h) - (- q^{2} + 24 q)}{h} = \frac{-2 q h - h^{2} + 24 h}{h} = -2 q - h + 24$

Als $h$ de waarde $0$ nadert, gaat dit over in de afgeleide: $R' (q) = -2 q + 24$ .

De grafiek van deze afgeleide is de hellingsgrafiek van de opbrengstfunctie. De waarde van $q$ waar de hellingen overgaan van negatief in positief zoek je, want dan gaat de opbrengstgrafiek van stijgend over in dalend. De opbrengst zelf heeft daar dus een maximum.
Je vindt de gezochte $q$ uit: $R' (q) = -2 q + 24 = 0$ .
De oplossing van deze vergelijking is $q = 12$ .
Conclusie: bij een verkoop van $12$ duizendtallen eenheden is de opbrengst maximaal.

Opgave 6

Bij functies met hogere machten is het berekenen van de afgeleide uit het differentiequotiënt $\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$ vaak nogal bewerkelijk. In Voorbeeld 3 kun je nalezen hoe dat in zijn werk gaat bij $f (x) = x^{3}$ .

Probeer eerst zelf om de afgeleide van deze functie te bepalen. Controleer dan je antwoord door naar het voorbeeld te kijken.

De hellingwaarde voor $x = 2$ is:

$f (2) = 8$

$f' (2) = 36$

$f' (2) = 12$

Er zijn twee punten op de grafiek van $f$ waarin de helling de waarde $6,75$ heeft. Bereken de coördinaten van deze beide punten.

Met de grafische rekenmachine kun je een benadering van de hellingsgrafiek tekenen door in het differentiequotiënt een heel klein getal voor $h$ te nemen. Nu je een voorschrift voor de afgeleide hebt, kun je die echter ook rechtstreeks in beeld brengen. Controleer met behulp van je grafische rekenmachine dat beide manieren dezelfde grafiek opleveren.

Welke van de volgende uitspraken zijn juist?

Als voor een bepaalde functie $g$ geldt dat $g' (0) = 0$ dan heeft deze functie een uiterste waarde voor $x = 0$

Als voor een bepaalde functie $g$ geldt dat $g' (0) = 0$ dan heeft deze functie een horizontale raaklijn voor $x = 0$ .

Als voor een bepaalde functie $g$ geldt dat er een uiterste waarde is voor $x = 0$ dan is $g' (0) = 0$ .

Als voor een bepaalde functie $g$ geldt dat de grafiek een horizontale raaklijn heeft voor $x = 0$ dan is $g' (0) = 0$ .

verder | terug