Afgeleide functies

Afgeleide functies > Extremen berekenen

12345Extremen berekenen

Antwoorden van de opgaven

Opgave 1

Over probleemaanpak vind je meer bij de rubriek "Probleemaanpak" op de math4allsite. Dit probleem wordt in een voorbeeld opgelost, probeer er eerst zelf uit te komen en vergelijk dan later jouw antwoord met het voorbeeld.

Opgave 2

$f' (x) = 3 x^{2} - 3$

$f' (x) = 0$ als $x = \pm 1$ .

max. $f (-1) = 3$ en min. $f (1) = 3$ .

Opgave 3

$f' (x) = 0,3 x^{2} - 120$

$f' (x) = 0,3 x^{2} - 120 = 0$ als $x^{2} = 400$ en dus $x = \pm 20$ .

max. $f (-20) = 2320$ en min. $f (20) = -2320$ .

Opgave 4

$x = 0$

Deze functie heeft voor $x = 0$ een horizontale raaklijn. Heeft de functie ook een extreme waarde voor $x = 0$ ?

Ja.

Nee.

Bekijk de grafiek van de functie $g (x) = | x |$ . Wat is er aan de hand in $x = 0$ ?

De functie en de afgeleide hebben er beide de waarde $0$ , maar er is geen sprake van een extreme waarde.

De functie en de afgeleide hebben er beide de waarde $0$ , en er is een minimum van $f (0) = 0$ .

Alleen de functie heeft er de waarde $0$ en $f' (0)$ is onbekend. Er is geen extreme waarde.

Alleen de functie heeft er de waarde $0$ en $f' (0)$ is onbekend. Er is een minimum van $f (0) = 0$ .

Opgave 5

$100 x^{2} = x^{2} {(x - 10)}^{2}$ geeft $x = 0 \lor x = 20$ , dus de snijpunten zijn $(0, 0)$ en $(20, 40000)$ .

$g' (x) = 4 x^{3} - 60 x^{2} + 200 x = 0$ geeft $x = 0 \lor x = 5 \lor x = 10$ .
Tekenschema van $g'$ of grafiek van $g$ bekijken geeft min. $f (0) = 0$ , max. $f (5) = 625$ en min. $f (10) = 0$ .

$a \cdot 5^{2} = 5^{2} {(5 - 10)}^{2}$ geeft: $a = 25$ .

Opgave 6

$2 \cdot 8^{2} + 4 \cdot 8 \cdot 21 = 800$ cm².

$2 x^{2} + 4 x h = 800$ geeft $h = \frac{800 - 2 x^{2}}{4 x}$ .

$I = x^{2} h = x^{2} \cdot \frac{800 - 2 x^{2}}{4 x} = 200 x - \frac{1}{2} x^{3}$

$I' (x) = 200 - 1 \frac{1}{2} x^{2} = 0$ geeft $x = \sqrt{133 \frac{1}{3}} \approx 11,547$ cm.

De afmetingen zijn $11,5$ bij $11,5$ bij $11,5$ cm.

Opgave 7

$f' (x) = 3 a x^{2} - 1 = 0$ als $x = \pm \sqrt{\frac{1}{3 a}}$ .

max. $f (- \sqrt{\frac{1}{3 a}}) = \frac{2}{3} \sqrt{\frac{1}{3 a}}$ en min. $f (\sqrt{\frac{1}{3 a}}) = - \frac{2}{3} \sqrt{\frac{1}{3 a}}$ .

$\frac{2}{3} \sqrt{\frac{1}{3 a}} = 1$ geeft $a = \frac{4}{27}$ .

Opgave 8

$f' (x) = 4 x^{3} - 16 x = 0$ als $x = 0 \lor x = \pm 2$ .
Tekenschema $f'$ of grafiek $f$ : min. $f (-2) = -16$ , max. $f (0) = 0$ en min. $f (2) = -16$ .

Opgave 9

De nulpunten van $f$ zijn $(\pm 20, 0)$ .
De nulpunten van $g$ zijn $(\pm 20, 0)$ en $(10, 0)$ .

Voor $f$ is differentiëren niet nodig: de grafiek is een bergparabool met max. $f (0) = 4000$ .
Voor $g$ geldt: $g' (x) = 3 x^{2} - 20 x - 400 = 0$ als $x = \frac{20 \pm \sqrt{5200}}{6}$ .
De extremen van $g$ zijn: max. $g (-8,69) \approx 6064,60$ en min. $g (15,35) \approx -879,42$ .

$x \leq -20 \lor 0 \leq x \leq 20$

Opgave 10

Sportveld: lengte $l$ m en breedte $2 r$ m waarin $r$ de straal van de twee halve cirkel is.
Nu geldt: $2 l + 2 π r = 400$ , dus $l = 200 - π r$ .
De oppervlakte van het sportveld is: $A = l \cdot 2 r = (200 - π r) \cdot 2 r = 400 r - 2 π r^{2}$ .
Maximum berekenen: $A' (r) = 400 - 4 π r = 0$ geeft $r = \frac{100}{π}$ .
Het sportveld heeft een lengte van $100$ m en een breedte van $\frac{200}{π}$ m.

Opgave 11

$\frac{(400 - 200)}{(500 - 400)} = 2$ euro per kg.

Maak een tabel van $T K (q)$ met de grafische rekenmachine en vergelijk de waarden met de gegeven tabel.

$T W = 225 q - T K = 225 q - (10 q^{3} - 60 q^{2} + 130 q) = -10 q^{3} + 60 q^{2} + 95 q$

$M W (q) = T W' (q) = -30 q^{2} + 120 q + 95$
$M W$ is de veranderingssnelheid van de winst bij toename van $q$ .

Zie figuur.

$M W = 0$ als $q = \frac{-120 \pm \sqrt{25800}}{60}$ .
De maximale winst is ongeveer $M W (4,68) \approx 733,71$ .

Opgave 12

$f' (x) = 4 x^{3} - 2 a x = 0$ geeft $x = 0 \lor x = \pm \sqrt{(\frac{1}{2} a)}$ .
Dit betekent dat er alleen een minimum ongelijk aan $0$ kan zijn als $a > 0$ . Dat minimum is dan $f (\sqrt{\frac{1}{2} a}) = {(\frac{1}{2} a)}^{2} - a \cdot \frac{1}{2} a = - \frac{1}{4} a^{2}$ .
Het minimum is gelijk aan $-1$ als $- \frac{1}{4} a^{2} = -1$ en dus als $a = 2$ ( $a = -2$ voldoet niet).

$f' (1) = 4 - 2 a$ en $f (1) = 1 - a$ , dus de raaklijn heeft vergelijking $y = (4 - 2 a) x + a - 3$ .
Aan deze vergelijking moet ook $(0, 4)$ voldoen: $4 = a - 3$ geeft $a = 7$ .

Opgave 13

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 p x = 0$ geeft $x = 0 \lor x = 4 p$ .
Als $p \neq 0$ heeft de grafiek van $f$ twee extremen.

$f (0) = -16 \neq -32$
$f (4 p) = -32$ geeft $64 p^{3} - 96 p^{3} - 16 = - 32$ en dus $32 p^{3} = 16$ en $p = \sqrt[3]{\frac{1}{2}}$ .
Er is dan sprake van een minimum.

Opgave 14

$f' (x) = -4 x^{3} + 6 x^{2} = 0$ geeft $x = 0 \lor x = 1,5$ .
Min. $f (0) = 0$ en max. $f (1,5) = 1,6875$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} - 12 x = 0$ geeft $x = 0 \lor x = 4$ .
Max. $f (0) = 0$ en min. $f (4) = -32$ .

Opgave 15

Je moet hetzelfde vinden als bij b.

$f' (x) = 20 x^{4} - 160000 x = 0$ als $x = 0 \lor x = 20$ .
Max. $f (0) = 2557$ en min. $f (20) = -19197443$ .

Twee, zie grafiek (die je nu goed in beeld kunt brengen).

Opgave 16

$I = x {(20 - 2 x)}^{2}$

$0 < x < 10$

$I' (x) = 400 - 160 x + 12 x^{2} = 0$ geeft $x = \frac{10}{3} \lor x = 10$ .
Max. $I (\frac{10}{3}) = \frac{16000}{27}$ .

Opgave 17

Lineaire functies of (als ook $b = 0$ ) constante functies.

$f' (x) = 2 a x + b = 0$ geeft $x = - \frac{b}{(2 a)}$ .

Extreme waarde is $f (- \frac{b}{2 a}) = - \frac{b^{2}}{4 a} + c$ .

verder | terug