Doen.

$f\text{'}\left(\frac{40}{6}\right)=16\frac{2}{3}$ dus niet.

$f\text{'}\left(x\right)=3x^2-6x$ en $f\text{'}\text{'}\left(x\right)=6x-6=0$ als $x=1$.
Omdat $f\text{'}\text{'}$ voor $x=1$ van teken wisselt is er een buigpunt $(1,f\left(1\right))=(1,4)$.

$f\text{'}\left(x\right)=2x^3-6x$ en $f\text{'}\text{'}\left(x\right)=6x^2-6=0$ als $x=\pm 1$.
Omdat $f"$ bij beide waarden van $x$ van teken wisselt zijn er twee buigpunten, zoals je in de grafieken in het voorbeeld ziet.

Omdat $f\text{'}\text{'}$ bij beide waarden van $x$ van teken wisselt zijn er twee buigpunten, zie Voorbeeld 1.
Op $\langle 0,1\rangle$ is en dus de daling wordt steeds sterker.

$f\text{'}\left(x\right)=5x^4-300x^2=0$ geeft $x=0\vee x=\pm \sqrt{60}$.
Max.$f\left(\mathrm{-}\sqrt{60}\right)=2400\sqrt{60}$ en min.$f\left(\sqrt{60}\right)=\mathrm{-}2400\sqrt{60}$.

$f\text{'}\text{'}\left(x\right)=20x^3-600x=0$ geeft $x=0\vee x=\pm \sqrt{30}$.
De buigpunten zijn $(\mathrm{-}\sqrt{30},2100\sqrt{30})$, $(0,0)$ en $(\sqrt{30},-2100\sqrt{30})$.

Eén, namelijk bij $x=1$.

Zie figuur.

Grafiek op GR laat zien dat ongeveer bij $a=8$ het buigpunt zit.

$\frac{\text{d}TO}{\text{d}a}=\mathrm{-}{a}^2+16a$ en $\frac{{\text{d}}^{2}TO}{\text{d}{a}^2}=-2a+16$.
En $TO\text{'}\text{'}\left(a\right)=-2a+16=0$ als $a=8$.

Tussen $a=7$ en $a=8$ zit de grootste omzetstijging.
Die bedraagt $TO\left(8\right)-TO\left(7\right)\approx \mathrm{341,33}-\mathrm{277,67}=\mathrm{63,66}$.

$f\text{'}\text{'}\left(x\right)=6x-6=0$ geeft $x=1$ (zie opgave 1); het buigpunt is $(1,4)$.

$f\text{'}\left(1\right)=-3$

$y=-3x+7$

$f\text{'}\text{'}\left(x\right)=3x+12=0$ geeft $x=-4$. Buigpunt $(-4,-26)$.

$y\text{'}\text{'}\left(x\right)=8-6x^2=0$ geeft $x=\pm \sqrt{\frac{4}{3}}$. Buigpunten $(\mathrm{-}\sqrt{\frac{4}{3}},\frac{40}{9})$ en $(\sqrt{\frac{4}{3}},\frac{40}{9})$.

$[-15,15]\times [-1500,1500]$

$f\left(x\right)=g\left(x\right)$ geeft $x=0\vee x=\pm \sqrt{\left(148\right)}$.
Oplossing: .

$g\text{'}\text{'}\left(x\right)=3x^2-72=0$ geeft $x=\pm \sqrt{24}$, dus $(\pm \sqrt{24},-720)$.

$g\text{'}\left(\sqrt{24}\right)=-48\sqrt{24}$ en $g\text{'}\left(\mathrm{-}\sqrt{24}\right)=48\sqrt{24}$.
Het snijpunt van beide buigraaklijnen ligt op de $y$-as en is daarom $(0,432)$.

$TK\text{'}\text{'}=3q-8=0$ geeft $q=\frac{8}{3}$.
Dat is ongeveer $167$ kg.

$TW=q(11-q)-(\mathrm{0,5}{q}^3-4q^2+11q+4)=\mathrm{-0,5}{q}^3+3q^2-4$ en $TW\text{'}=\mathrm{-1,5}{q}^2+6q$.
$TW\text{'}=0$ als $q=0\vee q=4$.
Er is maximale winst bij een verkoop van $400$ kg.

$x=-2$ en $x=3$

$x=\frac{1}{2}$ want daar is de afgeleide minimaal.

Negatief, want .

$f\text{'}\left(x\right)=4x^3+2ax=0$ geeft $x=0\vee x=\pm \sqrt{\mathrm{-}\frac{1}{2}a}$ en omdat $a>0$ is deze wortel geen reëel getal. Dus alleen $x=0$ is een nulpunt van de afgeleide. Omdat $f\text{'}$ voor $x=0$ overgaat van negatief naar positief is $f\left(0\right)$ een minimum.

$f\text{'}\text{'}\left(x\right)=12x^2+2a=0$ geeft $x=\pm \sqrt{\mathrm{-}\frac{1}{6}a}$ en omdat $a>0$ is deze wortel geen reëel getal. Dus heeft $f\text{'}\text{'}$ geen enkele nulwaarde en is er geen buigpunt.

$f\text{'}\text{'}\left(x\right)=6x-12=0$ geeft $x=2$; buigpunt $(2,-4)$.

$y\text{'}\text{'}\left(x\right)=3x^2-15x=0$ geeft $x=0\vee x=5$; buigpunten $(0,0)$ en $(5;\mathrm{-468,75})$.

$f\text{'}\text{'}\left(x\right)=4-x=0$ geeft $x=4$.

Eigenlijk kun je deze grafiek nauwkeurig tekenen. Kun je bedenken dat het de grafiek moet zijn van $f\left(x\right)=2x^2-\frac{1}{6}{x}^3-11\frac{1}{3}$? (Een schets is voor dit moment genoeg. Je ziet de grafiek hiernaast, je schets moet er op lijken.)

$f\text{'}\left(5\right)=\mathrm{7,5}$ en $f\left(5\right)=10$, dus de raaklijn is $y=\mathrm{7,5}x-\mathrm{27,5}$.

$\frac{TK\left(\mathrm{3,001}\right)-TK\left(3\right)}{\mathrm{0,001}}\approx \frac{\mathrm{4,5015015}-\mathrm{4,5}}{\mathrm{0,001}}\approx \mathrm{1,50}$

$MK=TK\text{'}=\mathrm{1,5}{q}^2-6q+6$ en $MK\left(3\right)=\mathrm{1,5}$

$MK\text{'}=TK\text{'}\text{'}=3q-6=0$ geeft $q=2$. Dus $2000$ L/dag.