Afgeleide functies

Opgave 9

Bepaal met behulp van differentiëren van de volgende functies alle buigpunten.

a

$f (x) = 0,5 x^{3} + 6 x^{2} - 90$

b

$y (x) = 4 x^{2} - 0,5 x^{4}$

Opgave 10

Gegeven zijn de functies $f (x) = x^{2}$ en $g (x) = 0,25 x^{2} (x^{2} - 144)$ .

a

Je ziet hier hoe de grafieken van beide functies er op de grafische rekenmachine uit kunnen zien. Hoe moet je het venster dan instellen?

b

Los op: $f (x) > g (x)$

c

Bereken de exacte buigpunten van de grafiek van $g$ .

d

De grafiek van $g$ heeft twee buigraaklijnen die elkaar snijden op de $y$ -as. Bereken de exacte coördinaten.

Opgave 11

Een ondernemer maakt een bepaald product waarop hij het monopolie heeft. Voor zijn productiekosten (in honderden euro) geldt de formule $T K = 0,5 q^{3} - 4 q^{2} + 11 q + 4$ waarin $q$ de geproduceerde hoeveelheid in honderden kilogram is.

a

De snelheid waarmee de kosten stijgen is eerst afnemend, later toenemend. Er is een punt in de grafiek waarbij die snelheid van afnemend naar toenemend omslaat.
Bij welke productie zit het omslagpunt? Rond je antwoord af op hele kilogrammen nauwkeurig.

b

De hoeveelheid product die hij aanbiedt aan zijn afnemers heeft invloed op de prijs. Er geldt: $p = 11 - q$ waarin $p$ de prijs in honderden euro is. Ga er van uit dat deze ondernemer zijn totale productie ook verkoopt. Bij welke productie is zijn winst maximaal? Licht het antwoord toe met behulp van differentiëren.

Opgave 12

Dit is de grafiek van de afgeleide van een functie.

a

Bij welke waarden van $x$ heeft deze functie extremen?

b

Bij welke waarden van $x$ heeft de grafiek van deze functie een buigpunt?

c

Heeft de buigraaklijn een positieve of een negatieve richtingscoëfficiënt?

Opgave 13

Gegeven is de functie $f (x) = x^{4} + a x^{2}$ met een constante $a > 0$ .

a

Laat zien, dat deze functie voor elke waarde van $a$ een minimum heeft.

b

Toon aan dat deze functie voor geen enkele $a$ een buigpunt heeft.

Verwerken