Afgeleide functies

Afgeleide functies > Buigpunten

12345Buigpunten

Voorbeeld 2

Gegeven is de functie $f (x) = 0,5 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x + 3$ .
Onderzoek of de grafiek van deze functie een buigpunt heeft.
Zo ja, bereken de coördinaten ervan.

> antwoord

Eerst de afgeleide bepalen: $f' (x) = 1, 5 x^{2} - 6 x + 2$ .
Vervolgens deze afgeleide nog eens differentiëren: $f'' (x) = 3 x - 6$ .

Deze tweede afgeleide geeft informatie over het stijgen of dalen van de helling. Er is sprake van een buigpunt als de helling overgaat van stijgen in dalen, of omgekeerd. De tweede afgeleide gaat dan over van positief in negatief, of omgekeerd. Dat is vaak het geval voor waarden van $x$ waarin de tweede afgeleide $0$ is.

Je lost daarom eerst op: $f'' (x) = 3 x - 6 = 0$ .
Dit geeft $x = 2$ .
De tweede afgeleide wisselt bij $x = 2$ van teken, er is een buigpunt met $f (2) = -1$ .
Het buigpunt is $(2, -1)$ .

Opgave 5

Functies kunnen meerdere buigpunten hebben. Hier zie je de grafiek van de functie $f (x) = x^{3} (x^{2} - 100)$ .

Bereken de exacte extremen van deze functie.

Bereken de exacte buigpunten van deze grafiek.

Opgave 6

Van een functie zijn de tekenschema’s van $f (x)$ , van $f' (x)$ en van $f'' (x)$ gegeven door deze figuren.

Hoeveel buigpunten boven de $x$ -as heeft de grafiek van $f$ ?

Schets een mogelijke grafiek van $f$ .

Opgave 7

Vaak is de opbrengst $T O$ bij de productie van een bepaald artikel afhankelijk van de ingezette arbeidstijd $a$ (in uren per dag). Een dergelijk verband kan worden beschreven door de functie $T O (a) = - \frac{1}{3} a^{3} + 8 a^{2}$ .

Bekijk de grafiek van $T O$ . De opbrengst stijgt in het begin progressief (steeds sterker). Schat tot hoeveel ingezette arbeidstijd dat ongeveer zo is.

Het antwoord op de voorgaande vraag kun je nauwkeurig berekenen met behulp van differentiëren. Laat zien hoe dat gaat.

Hoeveel bedraagt de grootste opbrengststijging per uur?

verder | terug