Afgeleide functies

Afgeleide functies > Buigpunten

12345Buigpunten

Uitleg

Bekijk de applet: Buigpunt

Je ziet hier de grafiek van de functie $f (x) = x^{3} - 20 x^{2} + 150 x + 100$ .
De functiewaarden stijgen voortdurend:

ongeveer tot $x = 7$ is er afnemende stijging;
ongeveer vanaf $x = 7$ is er toenemende stijging;
ongeveer bij $x = 7$ zit een buigpunt.

Om dit buigpunt te schatten, kijk je naar het verloop van de helling van de grafiek. Die helling neemt eerst af en daarna weer toe, heeft een minimale waarde bij het buigpunt. Om het buigpunt exact te berekenen zoek je een minimum van de afgeleide.
De afgeleide is: $f' (x) = 3 x^{2} - 40 x + 150$ .
Een minimum van deze functie kun je vinden door differentiëren. Je bepaalt de afgeleide van $f'$ , de afgeleide van de afgeleide dus. Je spreekt dan van de tweede afgeleide die je aangeeft met $f "$ .
Hier is $f " (x) = 6 x - 40$ .
Deze tweede afgeleide verandert van teken als $6 x - 40 = 0$ dus als $x = \frac{40}{6} \approx 6,67$ . Het buigpunt zit daarom bij $x \approx 6,67$ . Om het volledig te berekenen moet je dit nog invullen in het functievoorschrift van $f$ . Het buigpunt is ongeveer $(6,67; 507,41)$ .

Opgave 2

In de Uitleg zie wat een buigpunt van een grafiek is en hoe je dit kunt berekenen.

Voer de berekening zelf uit en bepaal het buigpunt exact.

Is in dit buigpunt ook de richtingscoëfficiënt van de raaklijn $0$ ? Licht je antwoord toe.

Opgave 3

Dit is een deel van de grafiek van $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 6$ .

Zolang $x < 1$ wordt de helling van de grafiek steeds kleiner. Wat betekent dit voor de afgeleide van de hellingsfunctie $f' (x)$ ?

Die is dan dalend.

Die is dan negatief.

Die heeft dan een minimum.

Het punt $(1, 4)$ van de grafiek van $f$ noem je een buigpunt omdat de helling daar overgaat van dalend in stijgend. Wat weet je van de afgeleide in dit buigpunt? En van de afgeleide van de afgeleide?

De afgeleide is minimaal, de afgeleide van de afgeleide $0$ .

De afgeleide is minimaal, de afgeleide van de afgeleide ook.

De afgeleide is negatief, de afgeleide van de afgeleide $0$ .

De afgeleide is $0$ , de afgeleide van de afgeleide minimaal.

De afgeleide van de afgeleide noem je wel de tweede afgeleide van de gegeven functie. Met behulp van de tweede afgeleide kun je het buigpunt algebraïsch berekenen. Laat zien hoe dat gaat.

verder | terug