$f\text{'}\left(x\right)=20x^4-24x+60$

$E\text{'}\left(t\right)=1+t+\frac{1}{2}{t}^2+\frac{1}{6}{t}^3$

$f\left(x\right)=a^2{x}^2+2abx+b^2$ geeft $f\text{'}\left(x\right)=2a^{2}x+2ab$

$GTK\left(q\right)=0,5q^2-20q+60$ geeft $\frac{\text{d}GTK}{\text{d}q}=q-20$

$f\text{'}\left(x\right)=6x^2-4x^3=0$ geeft $x=0\vee x=\mathrm{1,5}$.
Aan de grafiek zie je dat er in $(0,0)$ wel een horizontale raaklijn maar geen extreme waarde is. De enige extreme waarde is bij $x=\mathrm{1,5}$.

$f\text{'}\text{'}\left(x\right)=12x-12x^2=0$ geeft $x=0\vee x=1$. Dus $(1,1)$.

$f\text{'}\left(1\right)=2$ en dus is de buigraaklijn $y=2x-1$.

$f\text{'}\left(x\right)=\mathrm{1,5}{x}^2-2=0$ geeft $x=\pm \sqrt{\frac{4}{3}}$. Max.$f\left(\mathrm{-}\sqrt{\frac{4}{3}}\right)=1\frac{1}{3}\sqrt{\frac{4}{3}}$ en min.$f\left(\sqrt{\frac{4}{3}}\right)=\mathrm{-}1\frac{1}{3}\sqrt{\frac{4}{3}}$.

$f\text{'}\text{'}\left(x\right)=3x=0$ geeft $x=0$. Buigpunt: $(0,0)$.

$f(\text{'}0)=-2$ dus raaklijn $y=-2x$.

Gegeven vergelijking herschrijven.

$TO=pq=120q-10q^2$

$TW=TO-TK=\mathrm{-1,5}{q}^3+\mathrm{12,5}{q}^2$

$TW\text{'}\left(q\right)=\mathrm{-4,5}{q}^2+25q=0$ geeft $q=0\vee q=\frac{50}{9}$.
$TW$ is maximaal bij $q=\frac{50}{9}$ en dan is $p\approx \mathrm{64,44}$ euro.

$GTK=T\frac{K}{q}=\mathrm{1,5}{q}^2-\mathrm{22,5}q+120$ en $GTK\text{'}\left(q\right)=3q-\mathrm{22,5}=0$ als $q=\mathrm{7,5}$.
Dus bij een afzet van $7500$ stuks.

Nulpunten: $f\left(x\right)=0$ geeft $x=-\frac{1}{2}\vee x=\pm 2$, dus $(\mathrm{-}\frac{1}{2},0)$, $(-2,0)$ en $(2,0)$.
Extremen: $f\text{'}\left(x\right)=6x^2+2x-8=0$ geeft $x=\mathrm{-}1\frac{1}{3}\vee x=1$; max.$f\left(\mathrm{-}1\frac{1}{3}\right)=3\frac{19}{27}$ en min.$f\left(1\right)=-9$.

$f\left(x\right)=g\left(x\right)$ geeft $x=0\vee x=\pm 2$.
Oplossing: .

$f\left(x\right)=0$ geeft $x=0\vee x=-6\vee x=10$ dus nulpunten $(0,0)$, $(-6,0)$ en $(10,0)$.
$f\left(x\right)=60x+4x^2-x^3$ geeft $f\text{'}\left(x\right)=60+8x-3x^2$
$f\text{'}\left(x\right)=0$ als $x=\frac{-8\pm \sqrt{784}}{-6}$ en dit geeft $x=6\vee x=\mathrm{-}\frac{10}{3}$.
Toppen: $(6,288)$ en $(\mathrm{-}\frac{10}{3},\mathrm{-}\frac{3200}{3})$.

$f\left(0\right)=0$ en $f\text{'}\left(0\right)=60$, dus de raaklijn is $y=60x$.
$f\left(x\right)=60x$ geeft $4x^2-x^3=0$ en dus $x=0\vee x=4$.
Het gevraagde punt is $(4,240)$.

Lengte = $l$, breedte = $2h$ en hoogte = $h$.
$l+8h=120$ en $I=l\cdot 2h^2$ geeft $I=2h^2(120-8h)=240h^2-16h^3$.
$I\text{'}\left(x\right)=480h-48h^2=0$ geeft $h=0\vee h=10$, alleen $h=10$ levert een maximum op.
$h=10$ betekent $b=20$ en $l=40$, dus $I=8000$ cm³.

Zelfde procedure als bij a, maar nu met $l+8h=p$ geeft: $h=\frac{1}{12}p$, $b=\frac{1}{6}p$ en $l=\frac{1}{3}p$. Inderdaad is dan $b=2h$ en $l=4h$.

$x=\frac{2v_0}{g\cdot }sin\left(\alpha \right)cos\left(\alpha \right)$

$x$ is maximaal als $sin\left(\alpha \right)cos\left(\alpha \right)$ zo groot mogelijk is.
Maak hiervan een grafiek ($\alpha$ in graden) voor . Bij $45$° vind je het maximum.

De bijbehorende grootste hoogte is $\frac{v_0}{4g}$.

Voor is $f\text{'}\left(x\right)=\mathrm{-}x+2$, dus voor $x\ge 3$ is de grafiek van $f\text{'}$ een lijn met richtingscoëfficiënt $1$ die door het punt $(3,-1)$ gaat. De formule voor $f\text{'}$ als $x\ge 3$ wordt daarom $f\text{'}\left(x\right)=x-4$.

Voor $x\ge 3$ geldt $f\text{'}\left(x\right)=2ax+b=x-4$, dus $a=\mathrm{0,5}$ en $b=-4$.
Dit betekent voor $x\ge 3$: $f\left(x\right)=\mathrm{0,5}{x}^2-4x+c$ en dus $f\left(3\right)=\mathrm{-7,5}+c$.
Omdat voor geldt $f\left(3\right)=\mathrm{2,5}$ moet $\mathrm{-7,5}+c=\mathrm{2,5}$ en dus $c=10$.
Voor $x\ge 3$ wordt de formule daarom $f\left(x\right)=\mathrm{0,5}{x}^2-4x+10$.

Voor geldt $f\text{'}\left(x\right)=\mathrm{-}x+2=0$ als $x=2$ en is er een maximum $f\left(2\right)=3$.
Voor $x\ge 3$ geldt $f\text{'}\left(x\right)=x-4=0$ als $x=4$ en is er een minimum $f\left(4\right)=2$.

Maak de tekening, je hebt nu beide formules.

Als $v=17$ dan $h=\mathrm{-0,0185}{a}^2+\mathrm{0,27}a+\mathrm{2,50}$.
$h\text{'}\left(a\right)=\mathrm{-0,037}a+\mathrm{0,27}=0$ geeft $a\approx \mathrm{7,3}$.
Daarbij hoort een maximale hoogte van $h\approx \mathrm{3,5}$ m.

$150$ km/u komt overeen met $\mathrm{41,67}$ m/s.
Volgens de grafiek hoort daar een hoek bij van ongeveer $-5$°.

Bij de netsituatie: als $a=12$ dan $h=1$.
Dit geeft: $\mathrm{-}\frac{\mathrm{5,16}}{v^2}\cdot {12}^2+\mathrm{0,18}\cdot 12+\mathrm{2,50}=1$ en dus $\frac{\mathrm{743,04}}{v^2}=\mathrm{3,66}$ en $v\approx \mathrm{14,25}$. Conclusie: (m/s) of (m/s).

$7$ meter voorbij het net betekent $a=19$ en de grond raken betekent $h=0$.