Differentieerregels

Differentieerregels > De kettingregel

1234567De kettingregel

Uitleg

Soms bestaat een functievoorschrift uit in serie geschakelde functies.
Neem bijvoorbeeld $S (x) = {(3 x + 1)}^{2}$ .
Een functiewaarde bereken je nu in twee stappen:

eerst bereken je $g (x) = 3 x + 1$ ;
vervolgens $f (g (x)) = {(g (x))}^{2}$ .

De functie $S (x) = {(3 x + 1)}^{2} = {(g (x))}^{2} = f (g (x))$ heet een samengestelde functie of kettingfunctie.

Deze kettingfunctie kun je niet eenvoudig differentiëren met de machtsregel:
$S^{'} (x) \neq 2 {(3 x + 1)}^{1} = 6 x + 2$

Dat kun je inzien door bij de functie $S$ eerst de haakjes uit te werken en dan pas te differentieëren.
$S (x) = 9 x^{2} + 60 x + 100$ . En: $S^{'} (x) = 18 x + 60$ .

Het differentiëren van een kettingfunctie vereist in het algemeen een speciale differentieerregel: de kettingregel. Je vindt de kettingregel bij de Theorie .

Opgave 1

Gegeven is de functie $h (x) = 3 {(x - 2)}^{2} - 2$ .

Waarom is $f$ een samengestelde functie? Waaraan herken je dat?

Ontleed $f (x)$ in afzonderlijke schakels.

Welke invoerwaarden passen bij de functiewaarde $25$ ?

Deze functie kun je differentiëren zonder eerst de haakjes uit te werken. Laat zien hoe.

Opgave 2

Schrijf de volgende functievoorschriften als een ketting van afzonderlijke functies.

$y = \sqrt{x^{2} - 1}$

$y = 3 x^{3} + 1$

$y = {(3 x^{2} + 2)}^{4}$

Opgave 3

Gegeven zijn de functies $f (x) = \sqrt{x}$ en $g (x) = x^{2} + 2$ met $x \geq 0$ .

Schrijf het functievoorschrift op van $h (x) = f (g (x))$ .

Kun je $h$ differentiëren met behulp van de differentieerregels die je nu kent?

Schrijf het functievoorschrift van $k (x) = g (f (x))$ zo eenvoudig mogelijk. Kun je deze functie differentiëren met behulp van de differentieerregels die je nu kent?

verder | terug