Doen.

De helling is $1$ als $x=k\cdot 2\pi$ en $-1$ als $x=\pi +k\cdot 2\pi$.

In de toppen, dus als $x=\frac{1}{2}\pi +k\cdot \pi$.

Voer voor een benadering van de afgeleide van Y1 = SIN(X) in Y2 = (Y1(X+0.001)-Y1(X))/0.001.

Doen.

De helling is $1$ als $x=\mathrm{-}\frac{1}{2}\pi +k\cdot 2\pi$ en $-1$ als $x=\frac{1}{2}\pi +k\cdot 2\pi$.

In de toppen, dus als $x=k\cdot \pi$.

Voer voor een benadering van de afgeleide van Y1 = COS(X) in Y2 = (Y1(X+0.001)-Y1(X))/0.001.

$f\text{'}\left(x\right)=cos\left(x\right)$

$f\text{'}\left(x\right)=cos(x+2)\cdot 1=cos(x+2)$

$f\text{'}\left(x\right)=2cos\left(x\right)$

$f\text{'}\left(x\right)=cos\left(2x\right)\cdot 2=2cos\left(2x\right)$

$f\text{'}\left(x\right)=4cos\left(2x\right)\cdot 2=8cos\left(2x\right)$

$f\text{'}\left(x\right)=10cos(\mathrm{0,5}x-\mathrm{2,5})\cdot \mathrm{0,5}=5cos(\mathrm{0,5}x-\mathrm{2,5})$

$f\text{'}\left(x\right)=15sin(\frac{\pi }{6}x+\frac{\pi }{6})\cdot \frac{\pi }{6}=\frac{15}{6}\pi sin(\frac{\pi }{6}x+\frac{\pi }{6})$

$f\text{'}\left(x\right)=8cos\left(\frac{2\pi }{15}t\right)\cdot \frac{2\pi }{15}=\frac{16}{15}\pi cos\left(\frac{2\pi }{15}t\right)$

$f\text{'}\left(x\right)=6cos(\frac{\pi }{6}x-\frac{2\pi }{6})\cdot \frac{\pi }{6}=\pi cos(\frac{\pi }{6}x-\frac{2\pi }{6})$

$f\text{'}\left(4\right)=\frac{1}{2}\pi$ en $f\left(4\right)=20+3\sqrt{3}$ dus de raaklijn wordt $y=\frac{1}{2}\pi x+20-2\pi +3\sqrt{3}$.

Van functie $f$ is de periode $p=12$ en de horizontale verschuiving $b=2$.
De bedoelde hellingswaarde is maximaal als de grafiek stijgend door de evenwichtsstand gaat, dus bij $x=11+k\cdot 12$.

Periode: $p=\frac{60}{40}=\mathrm{1,5}$.
Amplitude: $A=\frac{\mathrm{3,15}-\mathrm{3,05}}{2}=\mathrm{0,05}$.
Evenwichtsstand: $E=\frac{\mathrm{3,15}+\mathrm{3,05}}{2}=\mathrm{3,10}$.
Maximaal volume op $t=0$, dus cos-functie gebruiken. (Je mag natuurlijk ook een sin-functie gebruiken, maar dan moet je rekening houden met een horizontale verschuiving.)

$L\left(1\right)=\mathrm{3,075}$

$L\text{'}\left(t\right)=\mathrm{-0,05}sin\left(\frac{2\pi }{\mathrm{1,5}}t\right)\cdot \frac{2\pi }{\mathrm{1,5}}$ en dus is $L\text{'}\left(1\right)\approx \mathrm{0,18}$ L/s. Het gaat dan om inademen.

Als de grafiek van $L$ stijgend door de evenwichtsstand gaat, dus als $t=\mathrm{1,125}+k\cdot \mathrm{1,5}$.

$f\text{'}\left(x\right)=2cos\left(x\right)-2sin\left(2x\right)$

$f\text{'}\left(x\right)=2sin\left(x\right)\cdot cos\left(x\right)=2sin\left(x\right)cos\left(x\right)$

$f\text{'}\left(x\right)=2cos\left(x\right)\cdot \mathrm{-}sin\left(x\right)-3sin\left(x\right)=-2sin\left(x\right)cos\left(x\right)-3sin\left(x\right)$

$f\text{'}\left(x\right)=2cos\left(3x\right)\cdot \mathrm{-}sin\left(3x\right)\cdot 3=-6sin\left(3x\right)cos\left(3x\right)$

$f\text{'}\left(x\right)=\frac{cos\left(x\right)\cdot cos\left(x\right)-sin\left(x\right)\cdot \mathrm{-}sin\left(x\right)}{{cos}^2\left(x\right)}=\frac{{cos}^2\left(x\right)+{sin}^2\left(x\right)}{{cos}^2\left(x\right)}=\frac{1}{{cos}^2\left(x\right)}$

$f\left(x\right)={sin}^2\left(x\right)+sin\left(x\right)$ en $f\text{'}\left(x\right)=2sin\left(x\right)cos\left(x\right)+cos\left(x\right)=cos\left(x\right)(2sin\left(x\right)+1)=0$ geeft $sin\left(x\right)=\mathrm{-0,5}\vee cos\left(x\right)=0$ en dus $x=1\frac{1}{6}\pi \vee x=1\frac{5}{6}\pi \vee x=\frac{1}{2}\pi \vee x=1\frac{1}{2}\pi$.
Je vindt (grafiek): max.$f\left(\frac{1}{2}\pi \right)=2$, max.$f\left(1\frac{1}{2}\pi \right)=0$ en min.$f\left(1\frac{1}{6}\pi \right)=f\left(1\frac{5}{6}\pi \right)=\mathrm{-0,25}$.

$f\text{'}\left(x\right)=2sin\left(x\right)cos\left(x\right)-pcos\left(x\right)$ geeft $f\text{'}\left(\frac{1}{2}\pi \right)=0$ en $f\text{'}\left(1\frac{1}{2}\pi \right)=0$.

$f\left(\frac{1}{2}\pi \right)=1-p$ en $f\left(1\frac{1}{2}\pi \right)=1+p$ en nu moet $1-p=2(1+p)$.
Dit kan alleen als $p=-1$.

$f\text{'}\left(x\right)=6cos\left(2x\right)$

$g\text{'}\left(x\right)=\frac{4}{3}\pi sin\left(\frac{2\pi }{30}(x-5)\right)$

$H\text{'}\left(t\right)=880\pi sin\left(440\pi t\right)cos\left(440\pi t\right)$

$y\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{2}{(16+{sin}^2\left(x\right))}^{\mathrm{-}\frac{1}{2}}\cdot 2sin\left(x\right)cos\left(x\right)=\frac{sin\left(x\right)cos\left(x\right)}{\sqrt{16+{sin}^2\left(x\right)}}$

$A\text{'}\left(r\right)=-1{\left(sin\left(2r\right)\right)}^{-2}\cdot cos\left(2r\right)\cdot 2=\frac{-2cos\left(2r\right)}{{sin}^2\left(2r\right)}$

$W\text{'}\left(p\right)=2cos\left(p\right)\cdot cos\left(2p\right)+2sin\left(p\right)\cdot \mathrm{-}sin\left(2p\right)\cdot 2=2cos\left(p\right)cos\left(2p\right)-4sin\left(p\right)sin\left(2p\right)$

Tsja, wat is hier algebraïsch?
Werken met de periode ($\pi$), de horizontale verschuiving ($0$), de amplitude ($3$) en de evenwichtslijn ($y=1$) van een standaardsinusoïde geeft max.$f\left(0\right)=f\left(\pi \right)=f\left(2\pi \right)=4$ en min.$f\left(\frac{1}{2}\pi \right)=f\left(1\frac{1}{2}\pi \right)=-2$. Maar je kunt natuurlijk ook differentiëren. Ga na dat je dan hetzelfde krijgt.

$f\left(x\right)=\mathrm{2,5}$ geeft $cos\left(2x\right)=\mathrm{0,5}$ en dus $x=\frac{1}{6}\pi +k\cdot \pi \vee x=\mathrm{-}\frac{1}{6}\pi +k\cdot \pi$.
Op het gegeven domein is als .

$f\text{'}\left(x\right)=-6sin\left(2x\right)$.
De hellingswaarden zijn $f\text{'}\left(\frac{1}{6}\pi \right)=f\text{'}\left(1\frac{1}{6}\pi \right)=-3\sqrt{3}$ en $f\text{'}\left(\frac{5}{6}\pi \right)=f\text{'}\left(1\frac{5}{6}\pi \right)=3\sqrt{3}$.

$H\left(0\right)\approx \mathrm{1,06}$ m.

$H\text{'}\left(t\right)=\mathrm{-}\frac{4\pi }{\mathrm{12,25}}sin\left(\frac{2\pi }{\mathrm{12,25}}(t-3)\right)=0$ als $t=3\vee t=\mathrm{9,125}\vee t=\mathrm{15,25}\vee t=\mathrm{21,375}$.
Het is hoogwater om 3:00 uur en om 15:15 uur.
Je kunt ook rekenen met periode en horizontale verschuiving.

$H\text{'}\left(4\right)\approx \mathrm{-0,50}$ m/uur. Dat is de snelheid waarmee het water (in dit geval) daalt.

Als $H\text{'}$ maximaal of minimaal is, dus als de grafiek van $H$ door de evenwichtsstand gaat.
Dat is als $t=\mathrm{6,0625}\vee t=\mathrm{12,1875}\vee t=\mathrm{18,3125}$.
Je vindt daarom ongeveer de tijdstippen 6:04 uur, 12:11 uur en 18:19 uur.

$f\text{'}\left(x\right)=\mathrm{0,5}+cos\left(x\right)=0$ geeft $cos\left(x\right)=\mathrm{-0,5}$ en dus $x=\frac{2}{3}\pi \vee x=1\frac{2}{3}\pi$.
Met behulp van de grafiek vind je: min.$f\left(1\frac{2}{3}\pi \right)=\frac{5}{6}\pi -\frac{1}{2}\sqrt{3}$ en max.$f\left(\frac{2}{3}\pi \right)=\frac{1}{3}\pi +\frac{1}{2}\sqrt{3}$.

$f\text{'}\left(0\right)=\mathrm{1,5}$, de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek in $O$ is $y=\mathrm{1,5}x$.

Het kleinste hellingsgetal zit bij $x=\pi$ en $f\text{'}\left(\pi \right)=\mathrm{-0,5}$.

$V\left(t\right)=325sin\left(100\pi t\right)$

$P\left(t\right)=c\cdot {\left(V\left(t\right)\right)}^2=c\cdot 105625{sin}^2\left(100\pi t\right)={sin}^2\left(100\pi t\right)$ als $c=\frac{1}{\left(105625\right)}$.

$P\text{'}\left(t\right)=2sin\left(100\pi t\right)cos\left(100\pi t\right)=0$ geeft $100\pi t=k\cdot \mathrm{0,5}\pi$ en dus $t=k\cdot \mathrm{0,005}$.
Je vindt max.$f(\mathrm{0,005}+k\cdot \mathrm{0,01})=1$ en min.$f(k\cdot \mathrm{0,01})=0$.

Bijvoorbeeld $P\left(t\right)=\mathrm{0,5}-\mathrm{0,5}cos\left(100\pi t\right)$.

$f\text{'}\left(x\right)=-6cos\left(3x\right)$

$u\text{'}\left(t\right)=330\pi cos\left(220\pi (t-1)\right)$

$g\text{'}\left(x\right)=2xcos\left(x\right)-x^{2}sin\left(x\right)$

$y\text{'}\left(t\right)=\mathrm{-2,5}\pi sin(\mathrm{0,5}\pi t-\pi )+\mathrm{0,15}$

$f\text{'}\left(x\right)=-2sin\left(x\right)cos\left(x\right)+sin\left(x\right)=sin\left(x\right)(-2cos\left(x\right)+1)=0$ als $sin\left(x\right)=0\vee cos\left(x\right)=\mathrm{0,5}$.
Dit geeft max.$f\left(-2\pi \right)=f\left(0\right)=f\left(2\pi \right)=0$, max.$f(-\pi )=f\left(\pi \right)=2$ en min.$f\left(-1\frac{2}{3}\pi \right)=f\left(\mathrm{-}\frac{1}{3}\pi \right)=f\left(\frac{1}{3}\pi \right)=f\left(1\frac{2}{3}\pi \right)=\mathrm{-}\frac{1}{2}$.

$f\left(\frac{1}{2}\pi \right)=0$ en $f\text{'}\left(\frac{1}{2}\pi \right)=1$, dus de raaklijn wordt $y=x$.

Vroegste $t\approx \mathrm{4,33}$ uur; laatste $t\approx \mathrm{8,83}$ uur. Amplitude $A=\mathrm{2,25}$ uur en evenwichtslijn $Z\approx \mathrm{6,58}$.
De periode is $365$ dagen en (uitgaande van de sin-functie) de horizontale verschuiving is $81$ (kwart periode voor $21$ juni).
Dit geeft $Z\left(t\right)=\mathrm{2,25}sin\left(\frac{2\pi }{365}(t-81)\right)+\mathrm{6,58}$.

$Z\text{'}\left(t\right)=\frac{\mathrm{4,5}\pi }{365}cos\left(\frac{2\pi }{365}(t-81)\right)$ moet maximaal of minimaal zijn.
Dat is het geval als $\frac{2\pi }{365}(t-81)=k\cdot \pi$. Dit geeft $t=81\vee t=264$.
Snelste stijging op 21/22 maart en snelste daling op 21/22 september.