Differentieerregels

Differentieerregels > Afgeleide sinusoïde

1234567Afgeleide sinusoïde

Voorbeeld 2

Bij het in- en uitademen varieert het longvolume $L$ (in liters) periodiek met de tijd $t$ (in seconden). Stel je voor dat iemand's longvolume varieert tussen $3,05$ en $3,15$ L en dat deze persoon $40$ keer per minuut in- en uitademt. Neem verder aan dat $L (t)$ een zuivere sinusoïde is.
Op $t = 0$ is zijn longvolume maximaal. Bereken de grootste snelheid van uitademen.

> antwoord

Dit is een passende formule: $L (t) = 3,10 + 0,05 cos (\frac{2 π}{1,5} t)$ .
Hierin is $t$ in seconden (er gaan $40$ ademhalingen in $60$ seconden, dus de periode is $1,5$ sec.).

De grootste snelheid van uitademen vindt plaats als de grafiek de evenwichtsstand passeert vanaf een maximum naar een minimum. Bijvoorbeeld op $t = 1,5 / 4 = 0,375$ .
Die snelheid is dan gelijk aan de afgeleide van $L (t)$ op dat tijdstip.

Nu is: $L' (t) = -0,05 sin (\frac{2 π}{1,5} t) \cdot \frac{2 π}{1,5}$ .
En daarom is: $L' (0,375) = 0,05 sin (\frac{2 π}{1,5} \cdot 0,375) \cdot \frac{2 π}{1,5} \approx 0,021$ .
De maximale snelheid van uitademen in ongeveer $0,021$ L/s.

Opgave 7

Voorbeeld 2 gaat over het longvolume van een mens bij het in- en uitademen. Ga weer uit van een maximaal longvolume op $t = 0$ .

Leg uit hoe je aan de formule voor $L$ komt. Gebruik de begrippen periode, amplitude, evenwichtsstand.

Hoeveel bedraagt zijn longvolume op $t = 1$ ?

Hoeveel bedraagt de snelheid waarmee het longvolume verandert op $t = 1$ ? Gaat het dan om inademen of uitademen?

Op welke tijdstippen is de snelheid van de uitstromende lucht maximaal?

Opgave 8

Differentieer de volgende functies.

$f (x) = 2 sin (x) + cos (2 x) + 3$

$f (x) = {sin}^{2} (x)$

$f (x) = {cos}^{2} (x) + 3 cos (x)$

$f (x) = {cos}^{2} (3 x)$

$f (x) = \frac{sin (x)}{cos (x)}$

verder | terug