Differentieerregels

Differentieerregels > Afgeleide sinusoïde

1234567Afgeleide sinusoïde

Voorbeeld 3

Bekijk de applet

Je ziet hier de grafiek van een functie $f$ van de vorm $f (x) = {sin}^{2} (x) - p sin (x)$ voor $p = 1$ . Het domein van deze functie is $[0, 2 π]$ . Als $p = 1$ heeft de grafiek van $f$ vier extremen.
Voor welke waarden van $p$ heeft de grafiek van $f$ vier extremen?

> antwoord

$f' (x) = 2 sin (x) cos (x) - p cos (x) = 0$ geeft:
$cos (x) (2 sin (x) - p) = 0$
en dus:
$cos (x) = 0 \lor sin (x) = 0,5 p$

Op $[0, 2 π]$ heeft $cos (x) = 0$ twee oplossingen.
Dan moet dit ook gelden voor $sin (x) = 0,5 p$ .
Dit betekent $-1 < 0,5 p < 1$ en $p \neq 0$ .
Dus moet $-2 < p < 2$ en $p \neq 0$ .

Opgave 9

Bekijk Voorbeeld 3. Het gaat daar om een familie van functies van de vorm $f (x) = {sin}^{2} (x) - p sin (x)$ op $[0, 2 π]$ .

Neem $p = -1$ . Om welke functie $f$ gaat het nu? Bereken van deze functie alle extremen.

Bij elke waarde van $p$ heeft de grafiek van $f$ een top in $A (\frac{1}{2} π, f (\frac{1}{2} π))$ en een top in $B (1 \frac{1}{2} π, f (1 \frac{1}{2} π))$ . Toon dit aan.

Er zijn twee waarden van $p$ waarvoor het punt $A$ tweemaal zover van de $x$ -as ligt als het punt $B$ . Bereken die waarden van $p$ .

verder | terug