Differentieerregels

Differentieerregels > Toepassingen

1234567Toepassingen

Antwoorden van de opgaven

Opgave 1

Probeer dit eerst zelf op te lossen, denk aan de formules voor de inhoud en de oppervlakte van een cilinder. De oplossing wordt verder uitgewerkt in de Uitleg

Opgave 2

Het blik is zuiver cilindervormig en het materiaal is overal even dik zodat de hoeveelheid materiaal alleen wordt bepaald door de oppervlakte ervan.

Oppervlakte van twee cirkels (bovenkant en onderkant) met straal $r$ en één rechthoek (de cilindermantel) met hoogte $h$ en breedte $2 π r$ .

Eigen antwoord.

$A' (r) = \frac{-2000}{r^{2}} + 4 π r = 0$ geeft $r^{3} = \frac{2000}{4 π}$ en dus $r \approx 5,42$ .

Opgave 3

Eigen antwoord.

Het blauwe streepjeslijntje is $A (x)$ . Ga na dat de rechthoekige driehoek met rechthoekszijden $x - 1$ en $A (x)$ gelijkvormig is met de grotere rechthoekige driehoek met zijden $x$ en $\sqrt{{2,5}^{2} - x^{2}}$ .
Daaruit volgt: $\frac{x - 1}{x} = \frac{A (x)}{\sqrt{{2,5}^{2} - x^{2}}}$ .

$A (x) = (1 - \frac{1}{x}) \sqrt{{2,5}^{2} - x^{2}}$ geeft $A' (x) = \frac{1}{x^{2}} \cdot \sqrt{{2,5}^{2} - x^{2}} + (1 - \frac{1}{x}) \cdot \frac{- x}{\sqrt{{2,5}^{2} - x^{2}}}$ .
$A' (x) = 0$ levert op $\frac{\sqrt{{2,5}^{2} - x^{2}}}{x^{2}} = \frac{x - 1}{\sqrt{{2,5}^{2} - x^{2}}}$ en dus $x^{3} - x^{2} = {2,5}^{2} - x^{2}$ en $x^{3} = 6,25$ zodat $x = \sqrt[3]{6,25} \approx 1,84$ .
Ga na dat er inderdaad van een maximum sprake is.

Opgave 4

Eigen antwoord.

Zie Voorbeeld 2.

Omdat $T (x) = t (30 - x + 1,5 \sqrt{x^{2} + 100}) = t \cdot A (x)$ (en $t > 0$ ) is $T$ minimaal als $A$ dat is.
$A' (x) = -1 + \frac{1,5 x}{\sqrt{x^{2} + 100}} = 0$ geeft $\sqrt{x^{2} + 100} = 1,5 x$ en na kwadrateren $1,25 x^{2} = 100$ .
Dit betekent dat $A$ (en dus $T$ ) minimaal is als $x = \sqrt{80} \approx 8,94$ m.
Het antwoord op de in het voorbeeld gestelde vraag is dat er $21,06$ m langs de wegkant moet worden gegraven en vandaar rechtsreeks door de tuin naar het woonhuis.

Opgave 5

Eigen antwoord.

$D A = B C = 20$ en dus is de hoogte van het trapezium $20 sin (α)$ .
Het trapezium bestaat uit een rechthoek van $20$ bij $20 s i m (α)$ en twee driehoeken die samen een rechthoek vormen van $20 cos (α)$ bij $20 sin (α)$ . De totale oppervlakte van het trapezium is $A (α) = 20 \cdot 20 sin (α) + 20 cos (α) \cdot 20 sin (α)$ .

$A' (α) = 400 cos (α) + 400 {cos}^{2} (α) - 400 {sin}^{2} (α) = 0$ als $α = \frac{1}{3} π$ (gebruik je grafische rekenmachine om deze vergelijking op te lossen).

Opgave 6

De lengte van $A B$ is $L (p) = \sqrt{p} - p^{2}$ .
$L' (p) = \frac{1}{2 \sqrt{p}} - 2 p = 0$ geeft $4 p \sqrt{p} = 1$ en dus $p^{3} = \frac{1}{16}$ .
De lengte van $A B$ is maximaal als $p = \sqrt[3]{\frac{1}{16}} \approx 0,40$ .

Opgave 7

Doen.

Eigen antwoord.

$A (x) = (x - 2) (\frac{100}{x} - 3)$

$A' (x) = -3 + \frac{200}{x^{2}} = 0$ geeft $x^{2} = \frac{200}{3}$ en dus $x \approx 8,2$ dm.

De poster moet ongeveer $8,2$ bij $12,2$ dm worden.

Opgave 8

$Δ A B C$ is gelijkvormig met $Δ A D E$ , dus $\frac{x}{x + 1} = \frac{3}{D E}$ zodat $D E = \frac{3 x + 3}{x} = 3 + \frac{3}{x}$ .
De lengte van de ladder is $L (x) = \sqrt{{(x + 1)}^{2} + {(3 + \frac{3}{x})}^{2}}$ .
Met behulp van differentiëren bepaal je nu het minimum van $l (x) = {(x + 1)}^{2} + {(3 + \frac{3}{x})}^{2}$ .
Je vindt een minimale lengte van $7,56$ m.

Opgave 9

Noem de basis van de gelijkbenige driehoek $x$ , dan zijn de benen elk $10 - \frac{1}{2} x$ .
De oppervlakte is dan $A (x) = \frac{1}{2} x \sqrt{{(10 - \frac{1}{2} x)}^{2} - {(\frac{1}{2} x)}^{2}} = \frac{1}{2} x \sqrt{100 - 10 x}$ .
$A' (x) = \frac{1}{2} \sqrt{100 - 10 x} - \frac{2,5 x}{\sqrt{100 - 10 x}} = 0$ geeft $100 - 10 x = 5 x$ en dus $x = 6 \frac{2}{3}$ .
De zijden zijn dus alle drie $6 \frac{2}{3}$ cm.

Opgave 10

Maak een schets van de situatie.

$A' (k) = \sqrt{10 - 2 k} - \frac{k}{\sqrt{10 - 2 k}} = 0$ geeft $\sqrt{10 - 2 k} = \frac{k}{\sqrt{10 - 2 k}}$ en $10 - 2 k = k$ zodat $k = 3 \frac{1}{3}$ .

Opgave 11

Als $p = 1$ is $f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x} = x + \frac{1}{x}$ .
$f' (x) = 1 - \frac{1}{x^{2}} = 0$ geeft $x^{2} = 1$ en dus $x = -1 \lor x = 1$ . Extremen max. $f (-1) = -2$ en min. $f (1) = 2$ .

$f' (x) = 1 - \frac{p}{x^{2}} = 0$ geeft $x^{2} = p$ .
Er zijn geen oplossingen als $p < 0$ en ook als $p = 0$ zijn er geen extremen.

$f' (0) = 1 - \frac{p}{x^{2}}$ en $f' (2) = 1 - \frac{p}{4} = -1$ geeft $p = 8$ .

Opgave 12

De lengte van $O P$ is $L (p) = \sqrt{p^{2} + {(4 - p^{2})}^{2}} = \sqrt{p^{4} - 7 p^{2} + 16}$ .
$L (p)$ is minimaal als $l (p) = p^{4} - 7 p^{2} + 16$ dat is.
$l' (p) = 4 p^{3} - 14 p = 0$ als $p = 0 \lor p = \pm \sqrt{3,5}$ .
De minimale lengte van lijnstuk $O P$ is $L (\pm \sqrt{3,5}) = \sqrt{3,75}$ .

De oppervlakte van rechthoek $A P Q B$ is $A (p) = 2 p (4 - p^{2}) = 8 p - 2 p^{3}$ .
$A' (p) = 8 - 6 p^{2} = 0$ als $p = \pm \sqrt{\frac{4}{3}}$ .
De maximale oppervlakte is $5 \frac{1}{3} \sqrt{\frac{4}{3}}$ .

Opgave 13

Zie figuur: van $a (x)$ is het maximum te berekenen.
Doe de stelling van Pythagoras in $Δ A R B$ : ${(a + x)}^{2} + {(2,5 - x)}^{2} = {2,5}^{2}$ .
Dit levert op $a (x) = - x + \sqrt{5 x - x^{2}}$ .
$a' (x) = -1 + \frac{5 - 2 x}{2 \sqrt{5 x - x^{2}}} = 0$ geeft $x = \frac{5 \pm \sqrt{5}}{2}$ .
$a$ is maximaal als $x = \frac{5 - \sqrt{5}}{2} \approx 1,38$ en $a (1,38) \approx 0,85$ m.

Opgave 14

$f' (x) = 4 {(x^{2} - x)}^{3} (2 x - 1) = 0$ geeft $x = 0 \lor x = 1 \lor x = \frac{1}{2}$ .
Je vindt min. $f (0) = f (1) = 0$ en max. $f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{256}$ .

De oppervlakte van de beschreven driehoek is $A (k) = \frac{1}{2} k {(k^{2} - k)}^{4}$ .
$A' (k) = \frac{1}{2} {(k^{2} - k)}^{4} + 2 k {(k^{2} - k)}^{3} (2 k - 1) = \frac{1}{2} {(k^{2} - k)}^{3} (9 k^{2} - 5 k) = 0$ geeft $k = 0 \lor k = 1 \lor k = \frac{5}{9}$ .
De bedoelde oppervlakte is maximaal als $k = \frac{5}{9}$ .

verder | terug