$f\text{'}\left(x\right)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$

$f\text{'}\left(x\right)=4\sqrt{x^2+1}+\frac{4x^2}{\sqrt{x^2+1}}$

$f\text{'}\left(x\right)=\frac{-4x^2+4}{{(x^2+1)}^2}$

$f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{4}-\frac{1}{4x^2}$

$f\text{'}\left(x\right)=\frac{4}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}$

$f\text{'}\left(x\right)=4sin(x^2+1)+8x^{2}cos(x^2+1)$

Doen.

$f_{\left(p\right)}\text{'}\left(x\right)=0$ geeft $x=\mathrm{0,75}\vee x=3$.
In $x=3$ wisselt de afgeleide (vanwege het kwadraat) niet van teken. Daar is dus geen uiterste waarde. In $x=\mathrm{0,75}$ wisselt de afgeleide wel van teken, dus daar zit het enige extreem.

$f\text{'}\left(x\right)=\frac{-15x^2+540}{{(x^2+36)}^2}=0$ geeft $x=\pm 6$.
Met behulp van een tekenschema van $f\text{'}$ of de grafiek van f vind je: min.$f\left(-6\right)=\mathrm{-1,25}$ en max.$f\left(6\right)=\mathrm{1,25}$.

$f\left(\mathrm{-}x\right)=\frac{-15x}{{\left(\mathrm{-}x\right)}^2+36}=\frac{-15x}{x^2+36}=-f\left(x\right)$, dus de grafiek is symmetrisch ten opzichte van de oorsprong $O$.

$f\left(3\right)=1$ en $f\text{'}\left(3\right)=\mathrm{0,2}$, dus de raaklijn heeft de vergelijking $y=\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,4}$ en $A=(0;\mathrm{0,4})$.

$b=\frac{36}{a}$ invullen in $f\left(b\right)$ en laten zien dat daar dan $f\left(a\right)$ uit komt.

$f\text{'}\left(x\right)=-1+\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}=0$ geeft $x=\pm \sqrt{\frac{1}{27}}$.
Je vindt min.$f\left(\mathrm{-0,19}\right)\approx \mathrm{-0,38}$ en max.$f\left(\mathrm{0,19}\right)\approx \mathrm{0,38}$.

$f\text{'}\left(1\right)=\mathrm{-}\frac{2}{3}$ en $f\left(1\right)=0$, dus de raaklijn is $y=\mathrm{-}\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}$.
Dus is $A(0,\frac{2}{3})$.

$f\text{'}\left(x\right)=4sin\left(x\right)cos\left(x\right)-2sin\left(x\right)=0$ geeft $sin\left(x\right)=0\vee cos\left(x\right)=0,5$ en dus $x=0\vee x=\pi \vee x=2\pi \vee x=\frac{1}{3}\pi \vee x=1\frac{2}{3}\pi$.
De extremen zijn: min.$f\left(0\right)=f\left(2\pi \right)=2$, min.$f\left(\pi \right)=-2$ en max.$f\left(\frac{1}{3}\pi \right)=f\left(1\frac{2}{3}\pi \right)=\mathrm{2,5}$

Zie grafiek: .

$t=\frac{AK}{v_s}+\frac{KB}{v_z}$

$t\left(x\right)=\frac{\sqrt{x^2+{50}^2}}{6}+\frac{\sqrt{{(100-x)}^2+{20}^2}}{\mathrm{1,5}}$

$t\text{'}\left(x\right)=\frac{x}{6\sqrt{x^2+2500}}+\frac{-200+2x}{3\sqrt{10400-200x+x^2}}=0$.
Deze vergelijking is alleen met de grafische rekenmachine op te lossen: $x\approx \mathrm{95,6}$ m.
De bijbehorende minimale tijd is ongeveer $\mathrm{31,6}$ seconden.

Met het voorgaande antwoord bereken je de afstanden $AK$ en $BK$. $AK\approx \mathrm{107,89}$ m en $BK\approx \mathrm{20,48}$ m. De totale afstand is dus ongeveer $\mathrm{128,37}$ m.

$L$

$L\left(x\right)=\sqrt{4+x^2}+\sqrt{26-10x+x^2}$ en $L\text{'}\left(x\right)=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}+\frac{-5+x}{\sqrt{26-10x+x^2}}$.
$L\text{'}\left(x\right)=0$ geeft na kwadrateren $x^2(26-10x+x^2)=(4+x^2)(x^2-10x+25)$ en dan $3x^2-40x+100=0$. Dit levert op $x=\frac{40\pm \sqrt{400}}{6}$ en dus $x=10\vee x3\frac{1}{3}$.
$L$ is mnimaal als $x=3\frac{1}{3}$ dm.

Gebruik de gelijkvormigheid:
$\text{∆}AA\text{'}P$ en $\text{∆}BB\text{'}P$ zijn gelijkvormig, dus: $\frac{a}{x}=\frac{b}{c-x}$.
En hieruit kun je $x$ berekenen.

$f\left(x\right)=x$ geeft $x\approx \mathrm{5,9}$.
Het antwoord is: .

$f\text{'}\left(x\right)=\frac{10-2x}{2\sqrt{10x-x^2}}$ geeft $f\text{'}\left(2\right)=\frac{3}{4}$.

In de randpunten van het domein geldt: $ax–x^2=0$. Dus $100a–10000=0$ en dit geeft $a=100$.

$ax–x^2$ is maximaal als $a–2x=0$. De $x$-coördinaat van de top is $a$ en $h\left(a\right)=1+a$.
Dus alle toppen liggen op de lijn $y=x+1$.

$AC=20\cdot \mathrm{0,1}=2$ meter en $BC=\sqrt{5^2–2^2}$.
$EB=5–\sqrt{21}\approx \mathrm{0,42}$ meter.

$AC=\mathrm{0,1}t$ en $BC=\sqrt{5^2–{\left(\mathrm{0,1}t\right)}^2}$.
$d\left(t\right)=5–\sqrt{25–\mathrm{0,01}{t}^2}$.

$v\left(t\right)=\frac{\mathrm{0,01}t}{\sqrt{25–\mathrm{0,01}{t}^2}}=\mathrm{0,05}$ geeft $\sqrt{25-\mathrm{0,01}{t}^2}=\mathrm{0,2}t$ en dus $t^2=500$ en $t\approx 22$.

De inhoud in de verpakking is gelijk, dus hangt de $F$-waarde alleen af van de waarde van $A$; naarmate $A$ kleiner is, is de $F$-waarde kleiner.
De oppervlakte van de balkvormige verpakking is $A=2(\mathrm{7,5}\cdot 4+\mathrm{7,5}\cdot 10+4\cdot 10)=290$ (cm²).
De oppervlakte van de cilindervormige verpakking is $A=2\pi \cdot 3^2+2\pi \cdot 3\cdot \mathrm{10,6}\approx 256$ (cm²).
De $F$-waarde is het kleinst voor de cilindervormige verpakking.

$h>20$ en , dus $\frac{8000}{\pi r^2}>20$ en .
$\frac{8000}{\pi r^2}=20$ en $\frac{8000}{\pi r^2}=40$ oplossen geeft respectievelijk $r\approx \mathrm{11,28}$ en $r\approx \mathrm{7,98}$.
$r$ ligt tussen $\mathrm{8,0}$ en $\mathrm{11,3}$.

$F\text{'}\left(r\right)=\frac{-2}{r^2}+\frac{\pi }{2000}r=0$ geeft $r^3=\frac{4000}{\pi }$ en dus $r\approx \mathrm{10,8}$ cm.