Differentieerregels

Differentieerregels > Totaalbeeld

Overzicht

1234567Totaalbeeld

Examenopgaven

Opgave 10Wortelfuncties

Wortelfuncties

Gegeven is de functie

$f (x) = 1 + \sqrt{10 x - x^{2}}$ .
De grafiek van $f$ heeft de eindpunten $A$ en $B$ . Zie figuur.

Los op: $f (x) \geq x$ . Rond niet-gehele grenswaarden af op één decimaal.

Bereken met behulp van differentiëren de helling van de grafiek van $f$ in het punt $P (2, 5)$ .

Voor elke waarde van $a$ , met $a > 0$ , is gegeven de functie $h (x) = 1 + \sqrt{a x - x^{2}}$ .
Als $a = 10$ ontstaat de functie $f$ .

Het domein van $h$ hangt af van $a$ . Onderzoek voor welke waarde van $a$ het domein van $h$ het interval $[0, 100]$ is.

Als je voor enkele waarden van $a$ de grafiek van $h$ tekent, blijkt dat de toppen van deze grafieken op een rechte lijn liggen.

Geef een vergelijking van deze lijn. Licht je antwoord toe.

(bron: examen wiskunde B havo 2000, eerste tijdvak, opgave 5)

Opgave 11Kelderluik

Kelderluik

Een grote kelder kan worden afgesloten met een rechthoekig luik. De lengte $A B$ van het luik is $5$ meter. Het luik sluit het keldergat precies af. In de figuur is een model van de situatie in een zijaanzicht getekend. De uiteinden van het luik ( $A$ en $B$ ) lopen over rails $C D$ en $E C$ . Bij het openen en sluiten wordt $A$ aangedreven door een elektromotor, die $A$ een constante snelheid geeft van $0,1$ meter per seconde. We gaan er bij de volgende vragen steeds van uit dat deze snelheid onmiddellijk bij het openen en sluiten van het luik optreedt.

Het luik wordt vanuit geheel geopende stand ( $A$ valt dan samen met $C$ en $B$ valt dan samen met $E$ ) gesloten.

Bereken, zonder gebruik te maken van onderstaande formule, hoeveel het punt $B$ is gezakt $20$ seconden nadat het sluiten begonnen is. Geef je antwoord in gehele centimeters nauwkeurig.

$t$ is de tijd (in seconden) die verstreken is nadat het sluiten van het luik begonnen is. De afstand $d$ (in meters) die het punt $B$ dan afgelegd heeft, is afhankelijk van $t$ . Het verband tussen $t$ en $d$ wordt voor elk tijdstip $t$ met $0 \leq t \leq 50$ gegeven door:

$d = 5 - \sqrt{25 - 0,01 t^{2}}$ .

Toon aan dat deze formule juist is.

Bij het sluiten van het luik is de snelheid $v$ (in meter per seconde) van het punt $B$ op tijdstip $t$ gelijk aan de helling van de grafiek van $d$ in het bijbehorende punt.

Bereken met behulp van differentiëren op welk tijdstip deze snelheid gelijk is aan $0,05$ meter per seconde. Geef je antwoord in gehele seconden nauwkeurig.

(bron: examen wiskunde B havo 2000, tweede tijdvak, opgave 4, aangepast)

Opgave 12Warmtebalans

Warmtebalans

De temperatuur van een gekoeld pakje of blikje frisdrank stijgt op een zonnig strand snel. Dit heeft verschillende oorzaken. We beperken ons in deze opgave tot de oppervlakte en het volume van de verpakking. Als een verpakking bij dezelfde inhoud een grotere oppervlakte heeft, zal de frisdrank erin sneller opwarmen. Hiervoor is de warmte-uitwisselingsfactor $F$ van belang.
Er geldt: $F = \frac{A}{V}$ waarbij $A$ de totale oppervlakte van de verpakking is in cm² en $V$ het volume in cm³.
We bekijken een balkvormige en een cilindervormige verpakking van frisdrank. In de figuur zijn tevens de afmetingen in cm aangegeven.
Voor de oppervlakte $A$ van de cilinder geldt $A = 2 π r^{2} + 2 π r h$ , waarbij $h$ de hoogte is en $r$ de straal van het grondvlak.

In beide verpakkingen gaat vrijwel dezelfde hoeveelheid frisdrank. De warmte-uitwisselingsfactor $F$ is verschillend.

Onderzoek welke verpakking de kleinste $F$ -waarde heeft.

Voor een groot koffiezetapparaat moet een cilindervormige tank worden ontworpen met een inhoud van $8$ liter (1 liter = $1000$ cm³). Noem de straal van het grondvlak van deze tank $r$ en de hoogte van deze tank $h$ ( $r$ en $h$ in cm).
De hoogte $h$ van de tank kun je uitdrukken in de straal $r$ . Er geldt $h = \frac{8000}{π r^{2}}$ . Een eis die men aan het ontwerp van het koffiezetapparaat stelt, is dat de hoogte $h$ tussen $20$ cm en $40$ cm ligt.

Bereken welke waarden voor de straal $r$ dan zijn toegestaan. Rond de getallen in je antwoord af op één decimaal.

In plaats van grenzen aan de hoogte te stellen zou men ook de volgende eis kunnen stellen:
"De afmetingen van de tank moeten zodanig zijn dat de koffie er zo lang mogelijk warm in blijft. Dat wordt bereikt als de warmte-uitwisselingsfactor F van de tank zo klein mogelijk is."
Voor de warmte-uitwisselingsfactor van een cilindervormige tank met een inhoud van $8$ liter heeft men de formule $F = \frac{2}{r} + \frac{π r^{2}}{4000}$ gevonden.

Bereken met behulp van differentiëren de straal van een tank die aan deze eis voldoet. Rond de getallen in je antwoord af op één decimaal.

(bron: examen wiskunde B havo 2006, tweede tijdvak, opgave 5)

verder | terug