Bij functies van de vorm `f(x)=x^p` hangt het verloop van de functie af van de waarde van `p` . Voor bijvoorbeeld `p=2` krijg je een kwadratische functie met als grafiek een parabool. Deze functie is dalend voor `x < 0` en stijgend voor `x>0` . Voor `p=1` krijg je een lineaire functie, die stijgend is voor elke waarde van `x` . In dit onderdeel zul je zien dat voor negatieve en gebroken waarden van `p` je machtsfuncties krijgt met weer een ander karakter.
Je ziet hiernaast de grafieken van `f(x)=x^p` voor enkele positieve gehele waarden van `p` . Merk op:
Als `p` een positief even getal is, geldt dat:
`text(D)_f=ℝ` en `text(B)_f=[0 ,→⟩` ;
de grafiek dalend is als `x < 0` en stijgend als `x>0` ;
de vergelijking `x^p=a` twee oplossingen heeft als `a>0` , één oplossing heeft als `a=0` en geen oplossingen heeft als `a < 0` .
Als `p` een positief oneven getal is, geldt dat:
`text(D)_f=ℝ` en `text(B)_f=ℝ` ;
de grafiek stijgend is voor elke waarde van `x` (behalve `0` );
de vergelijking `x^p=a` één oplossing heeft voor elke waarde van `a` .
Maak met de applet uit de
`f(x)=x^4` , `g(x)=x^3` , `h(x)=x^2` en `j(x)=x` .
Voor welke waarden van `x` geldt: `f(x)=g(x)` ?
Voor welke waarden van `x` geldt: `f(x)>g(x)` ?
Voor welke waarden van `x` geldt: `f(x)=h(x)` ?
Voor welke waarden van `x` geldt: `f(x)>h(x)` ?
Voor welke waarden van `x` geldt: `f(x)=j(x)` ?
Voor welke waarden van `x` geldt: `f(x)>j(x)` ?
Om de voorgaande vragen in het algemeen te kunnen beantwoorden, kijk je naar twee functies: `f(x)=x^p` en `g(x)=x^q` , waarbij `p` een even positief getal is en `q` een oneven positief getal.
Neem de tabel over en vul hem in. Gebruik de grafische rekenmachine.
`x < text(-)1` | `text(-)1 < x < 0` | `0 < x < 1` | `x>1` | |
`p < q` | ||||
`p>q` | `f(x) < g(x)` |
Bekijk de functies `k(x)=x^5` en `l(x)=x^6` .
Maak een schets van de grafieken van `k(x)` en `l(x)` . Geef ook punt `(1, 1)` aan. Controleer je antwoord met de grafische rekenmachine.
Voor welke waarden van `x` geldt `x^6=10` ? Los op: `x^6 < 10` . Rond af op twee decimalen.
Voor welke waarde van `x` geldt `x^5=10` ? Los op: `x^5>10` . Rond af op twee decimalen.