Voer in op de GR: Y1=cos(X) en Y2=0,8. De snijpunten op het gegeven interval zijn:
`x≈0,644 ∨x≈5,640 ∨x≈6,927 ∨x≈11,923`
Je weet dat `cos(x)=0,8` voor `x~~0,644` . In een eenheidscirkel (of gewoon kijken naar de grafiek van de cosinusfunctie) zie je dat de vergelijking ook klopt voor `x=text(-)0,644` . Met een periode van `2pi` zijn alle mogelijke antwoorden dus:
`x~~0,644+k*2 π∨x~~text(-)0,644+k*2 π`
Je weet dat `cos(x)=0,5` voor `x=1/3pi` . In een eenheidscirkel (of gewoon kijken naar de grafiek van de cosinusfunctie) zie je dat de vergelijking ook klopt voor `x=1 2/3 pi` . Op het gegeven interval zijn alle mogelijke antwoorden dus:
`x=1/3 π ∨x=1 2/3 π ∨x=2 1/3 π ∨x=3 2/3 π`
Je weet dat `cos(x)=0,5` voor `x=1/3pi` . In een eenheidscirkel (of gewoon kijken naar de grafiek van de sinusfunctie) zie je dat de vergelijking ook klopt voor `x=text(-)1/3 pi` . Met een periode van `2pi` zijn alle mogelijke antwoorden dus:
`x=1/3 π+k*2 π∨x=text(-)1/3 π+k*2 π`
`x=arcsin (0,2 )+k*2π ∨x=π - arcsin (0,2 )+k*2π`
`x≈0,201 +k*2π ∨x≈2,940 +k*2π`
`x=arcsin(text(-)0,2 )+k*2 π ∨x=π -arcsin(text(-)0,2 )+k*2 π`
`x≈text(-)0,201 +k*2 π ∨x≈3,343 +k*2 π`
`x=1/6 pi+k*2π ∨x=π - 1/6 pi+k*2π=5/6 pi+k*2pi`
`x=text(-)1/4 pi+k*2π ∨x=π - text(-)1/4 pi+k*2π=1 1/4 pi+k*2pi`
`x=arccos(0,2 )+k*2 π ∨x=text(-)arccos(0,2 )+k*2 π`
`x≈1,369 +k*2 π ∨x≈text(-)1,369 +k*2 π`
`x=arccos(text(-)0,2 )+k*2 π ∨x=text(-)arccos(text(-)0,2)+k*2 π`
`x≈1,772 +k*2 π ∨x≈text(-)1,772 +k*2 π`
`x=pi+k*2 π ∨x=text(-)pi+k*2 π`
`x=pi+k*2pi`
`x=1/6 pi+k*2π ∨x=text(-)1/6 pi+k*2π=1 5/6 pi+k*2pi`
`x= arcsin (text(-)0,5 )+k*2 π ∨x=π - arcsin (text(-)0,5 )+k*2 π`
`x≈text(-)0,524 +k*2 π ∨x≈text(-)2,618 +k*2 π`
Bekend is
`arcsin(1/2)=1/6 pi`
.
Dus zijn de oplossingen
`x=arcsin(text(-)1/2)+k*2pi=text(-)1/6 pi+k*2pi`
en
`x=pi-arcsin(text(-)1/2)+k*2pi=pi-text(-)1/6 pi+k*2pi=7/6 pi+k*2pi = text(-) 5/6 π
+k*2 π`
.
Dit geeft:
`x=text(-) 1/6 π +k*2 π ∨x=text(-) 5/6 π +k*2 π`
`1 1/6 π, 1 5/6 π, 3 1/6 π` en `3 5/6 π` .
Met `arcsin(1/2 sqrt(2))=1/4 pi` en `x=arcsin(c)+k*2π vv x=π-arcsin(c) +k*2π` krijg je:
`x=1/4 π +k*2 π ∨x=3/4 π +k*2 π`
`text(-)1 3/4 π` , `text(-)1 1/4 π` , `1/4 π` , `3/4 π` , `2 1/4 π` en `2 3/4 π` .
`text(-)5,498` ; `text(-)3,927` ; `0,785` ; `2,356` ; `7,069` en `8,639` .
Plot op de GR de grafieken van `y_1 =cos(x)` en `y_2 =text(-)0,5` op het gegeven interval. Een oplossing is: `x=arccos(text(-)0,5)` . Rond af op drie decimalen: `x≈2,094` .
De andere oplossing is `x~~2pi-2,094~~4,189` .
`x=2/3 π +k*2 π ∨x=text(-) 2/3 π +k*2 π`
Op `[0, 2pi]` geeft dat `x=2/3π ∨x=1 1/3π` .
`x=2/3 π vv x=1 1/3 π vv x=2 2/3 π vv x=3 1/3 π`
`x= text(-)arccos(1/2sqrt(2))+k*2pi ∨ arccos(1/2sqrt(2))+k*2pi`
`text(-)1/4 pi+k*2pi ∨ 1/4 pi+k*2pi`
Op `[0, 2pi]` geeft dat `x=1/4 π ∨x=1 3/4 π` .
`x=text(-)1 3/4 π vv x=text(-)1/4 π vv x=1/4 π vv x=1 3/4 π x=2 1/4 π vv x=3 3/4 π`
`x~~text(-)5,498 vv x~~text(-)0,785 vv x~~0,785 vv x~~5,598 vv x~~7,069 vv x~~11,781`
`sin(3x)=1/2sqrt(3)`
`3x=pi/3+k*2pi vv 3x =pi-pi/3+k*2pi`
`x=pi/9+2/3k*pi vv x=(2pi)/9+2/3k*pi`
`2x=1/12 π +k*2 π ∨2x=11/12 π +k*2 π`
`x=1/24 π +k*π ∨x=11/24 π +k* π`
`2x=1/12 π +k*2 π ∨2x=text(-) 1/12π +k*2 π`
`x=1/24 pi+k*2pivvx=text(-)1/24 pi+k*2pi`
Voer in: `y_1=3sin(x)+1` met venster: `[text(-)2pi, 4pi]xx[text(-)2, 4]` .
`3 sin(x)+1 =2`
`sin(x)=1/3`
`x≈0,340 +k*2π ∨x≈2,802 +k*2π`
De grafiek laat zien dat de vergelijking klopt vóór
`x~~0,340`
, dus vanaf
`x~~2,802-2pi`
tot
`x~~0,340`
. De oplossing van de ongelijkheid is
`text(-)3,48+k*2pi < x < 0,34 +k*2π`
.
`3 sin(x)+1 =2,5`
`sin(x)=0,5`
`x=1/6π +k*2 π ∨x=5/6π +k*2 π`
`3 sin(x)+1 =4`
`sin(x)=1`
`x=1/2π +k*2 π`
`f(x)=3sin(x)+1=5` betekent `sin(x)=4/3` . Dat kan niet omdat `text(-)1 ≤sin(x)≤1` .
`x≈0,358 +k*2 π∨x~~pi-0,358+k*2pi=2,784 +k*2 π`
`x≈text(-)0,358 +k*2 π∨x≈text(-)pi-text(-)0,358+k*2pi=text(-)2,784 +k*2 π`
`x=1/3 π+k*2 π∨x=pi-1/3 pi+k*2pi=2/3 π+k*2 π`
`x=1 1/4 π+k*2 π∨x=pi-1 1/4 pi+k*2pi=text(-)1/4 pi+k*2pi=1 3/4 π+k*2 π`
`x≈1,213 +k*2 π ∨x≈text(-)1,213 +k*2 π`
`x≈1,928 +k*2 π ∨x≈text(-)1,928 +k*2 π`
`x=1/6 π +k*2 π ∨x=text(-)1/6 π +k*2 π`
`x=3/4 π +k*2 π ∨x=text(-)3/4 π +k*2 π`
`x=1/2 π+k*2 π`
`x=1 +k*2 π∨x=π-1 +k*2 π`
`x=sin(1 )≈0,841`
`sin(x)=cos(1)=sin(1+1/2 pi)`
`x=1+1/2 pi +k*2 π ∨ x=1/2 π-1 +k*2 π`
`2 sin(x)-1 =0` geeft `sin(x)=1/2` . De nulpunten op het interval zijn: `x=1/6 π, x=5/6 π, x=2 1/6 π` en `x=2 5/6 π` .
Bekijk de grafiek. De uitkomst is `1/6 π ≤ x ≤ 5/6 π ∨ 2 1/6 π ≤ x ≤ 2 5/6 π` .
`cos(2 x + 1)=0,5`
geeft
`2 x + 1=1/3 π +k*2 π ∨ 2 x + 1=text(-) 1/3 π +k*2 π`
en hieruit volgt
`x=1/6 π - 1/2+k*π ∨ x=text(-)1/6 π - 1/2 +k*π`
.
Op het gegeven interval geeft dat de oplossingen:
`x=1/6 π-1/2 ∨ x=5/6 π-1/2 ∨ x=1 1/6 π-1/2 ∨ x=1 5/6 π-1/2 ∨ x=2 1/6 π-1/2 ∨ x=2 5/6 π-1/2 ∨ ` `x=3 1/6 π-1/2 ∨ x=3 5/6 π-1/2`
Bekijk de grafiek. De oplossing is `0 ≤x≤1/6 π-1/2 ∨ 5/6 π-1/2 ≤x≤1 1/6 π-1/2 ∨ 1 5/6 π-1/2 ≤x≤2 1/6 π-1/2 ∨` ` 2 5/6 π-1/2 ≤x≤3 1/6 π-1/2 ∨3 5/6 π-1/2 ≤x≤4π` .
`3cos(x)+1=text(-)0,5`
`cos(x)=text(-)0,5`
`x=2/3 pi+k*2pi vv x=text(-)2/3 pi+k*2pi`
`sin(text(-)pix)=1/2sqrt(3)`
`text(-)pix=pi/3+k*2pi vv text(-)pix =pi-pi/3+k*2pi`
`x=text(-)1/3+k*2 vv x=text(-)2/3+k*2`
`text(-)8cos(0,25x)=text(-)4sqrt(2)`
`cos(0,25x)=1/2sqrt(2)`
`0,25x=pi/4+k*2pi vv 0,25x=text(-)pi/4+k*2pi`
`x=pi+k*8pi vv x=text(-)pi+k*8pi`
`sin(3x)=sin(pi/6)`
`3x=pi/6+k*2pi vv 3x=pi-pi/6+k*2pi`
`x=pi/18+k*2/3 pi vv x=5/18 pi+k*2/3 pi`
In decimeter.
Bij
`x`
in graden is de periode
`360^@`
.
Bij
`x`
in radialen is de periode
`2pi`
.
De eenheden van
`h`
en
`x`
zijn goed vergelijkbaar, het zijn beide lengtes.
De grafiek komt gemakkelijker in beeld omdat de periode maar
`2pi`
is en geen
`360`
.
Het functievoorschrift wordt
`h(x) = 100sin(x)`
.
De grafiek schommelt nu tussen
`text(-)100`
en
`100`
op en neer.
Gebruik GeoGebra, Desmos, of een grafische rekenmachine.
Assen bijvoorbeeld
`[0, 4pi]xx[text(-)10, 10]`
.
`10*sin(x) = 5` geeft `sin(x) = 0,5` .
Dit betekent `x = 1/6 pi + k*2pi vv x = 5/6 pi + k*2pi` .
`10*sin(x) = text(-)5` geeft `sin(x) = text(-)0,5` .
Dit betekent `x = 1 1/6 pi + k*2pi vv x = 1 5/6 pi + k*2pi` .
`x≈0,318 +k*2 π ∨x≈text(-)0,318 +k*2 π`
`x≈2,824 +k*2 π ∨x≈text(-)2,824 +k*2 π`
`x=2/3 π +k*2 π ∨x=text(-)2/3 π +k*2 π`
`x=text(-)4,97; x=text(-)1,32; x=1,32` en `x=4,97` .
`text(-)4,97 < x≤text(-)1,32 ∨1,32 ≤x < 4,97` .
`x=1/18 π +k*2/3 π ∨x= 5/18 π +k*2/3 π`