Ruimtelijke figuren

Ruimtelijke figuren > Berekeningen

Overzicht

123456Berekeningen

Antwoorden van de opgaven

Opgave 1

$A C = \sqrt{5^{2} + 3^{2}} = \sqrt{34}$ en $A G = \sqrt{{(\sqrt{34})}^{2} + 2^{2}} = \sqrt{38}$ .

Uit $tan (∠ C A G) = \frac{2}{\sqrt{34}}$ volgt $∠ C A G \approx 19 °$ .

Opgave 2

Een rechthoek.

$\sqrt{5^{2} + 2^{2}} = \sqrt{29}$

$tan (∠ A G F) = \frac{A F}{F G} = \frac{\sqrt{29}}{3}$ , dus $∠ A G F \approx 61 °$ .

Opgave 3

$A M = B M = \sqrt{{A H}^{2} + {H M}^{2}} = \sqrt{3^{2} + 2^{2} + {2,5}^{2}} = \sqrt{29,25}$

$tan (∠ A M H) = \frac{A H}{H M} = \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{6,25}}$ , dus $∠ A M H \approx 55 °$ .

$sin (∠ A M D) = \frac{A D}{A M} = \frac{3}{\sqrt{19,25}}$ , dus $∠ A M D \approx 43 °$ .

$∠ A M B = 180 ° - 2 \cdot ∠ A M H \approx 69 °$

Opgave 4

$A P = \sqrt{{A H}^{2} + {H P}^{2}} = \sqrt{6^{2} + 3^{2} + 2^{2}} = \sqrt{49} = 7$
$A Q = \sqrt{{A B}^{2} + {B Q}^{2}} = \sqrt{4^{2} + 6^{2} + 1^{2}} = \sqrt{53}$

$P Q = \sqrt{2^{2} + 2^{2}} = \sqrt{8}$ en dus is $A Q^{2} \neq {A P}^{2} + {P Q}^{2}$ .

Opgave 5

$tan (∠ A F D) = \frac{A D}{A F} = \frac{6}{5}$ , dus $∠ A F D \approx 50 °$ .

$sin (∠ C A Q) = \frac{C Q}{A Q} = \frac{1}{\sqrt{53}}$ , dus $∠ A M D \approx 8 °$ .

$Δ P A Q$ is niet rechthoekig.

Opgave 6

$C T = 12$ , $T F = 12 - 3 = 9$ en $C B = 3$ .
$Δ T C B$ is gelijkvormig met $Δ T F E$ .
Dus $F E = \frac{9}{12} \cdot C B = \frac{9}{12} \cdot 3 = 2,25$ .

$tan (∠ C B E) = \frac{12}{3} = 4$ dus $∠ C B E \approx 72 °$ .

Opgave 7

$P Q = 2$ en $B P = B Q = \sqrt{4^{2} + 2^{2}} = \sqrt{20}$

$cos (∠ B P Q) = \frac{1}{\sqrt{20}}$ , dus $∠ B P Q \approx 77 °$ . En $∠ B Q P = ∠ B P Q = 77 °$ .
Dus is $∠ P B Q = 180 ° - 2 \cdot ∠ B P Q \approx 36 °$ .

Opgave 8

$P R = \sqrt{18}$ en $Q P = Q R = \sqrt{34}$

$∠ Q P R = ∠ Q R P \approx 69 °$ en $∠ P Q R \approx 43 °$ .

Teken eerst rechthoek $D B F H$ met $D B = H F = \sqrt{(72)} \approx 8,5$ en $D H = B F = 6$ cm.
Vervolgens teken je punt $Q$ zo, dat $B Q = 1$ en punt $S$ zo, dat $F S = \frac{1}{4} \cdot H F$ .
Nu kun je vijfhoek $D B Q S H$ tekenen.
Deze vijfhoek heeft twee hoeken van $90 °$ , een hoek van $157 °$ en een hoek van $117 °$ .

Opgave 9

$T S = \sqrt{18}$

$B C$ en $P Q$ lopen evenwijdig en $B P = C Q$ .
$B P = C Q = \sqrt{27}$ , $B C = 6$ en $P Q = 3$ cm.

Om de figuur te kunnen tekenen is het verstandig om eerst de hoogte van het trapezium uit te rekenen. Die hoogte is $\sqrt{18 - {1,5}^{2}} = \sqrt{15,75} \approx 4,0$ cm.
Het trapezium heeft twee hoeken van ongeveer $69 °$ en twee hoeken van ongeveer $111 °$ .

Opgave 10

$B C = \frac{3}{11} \cdot 6 = \frac{18}{11}$
$E G = \sqrt{1700}$ en $E F = \frac{3}{4} \cdot \sqrt{1700}$ .

Opgave 11

$A E = D E = B F = C F = \sqrt{50}$

$∠ A B F \approx 65 °$ en $∠ B C F \approx 68 °$ .

De breedte van de verdiepingsvloer is $\frac{2}{5} \cdot 8 = 3,2$ m.
De lengte van de verdiepingsvloer is $6 + 2 \cdot \frac{2}{5} \cdot 3 = 8,4$ m.
De oppervlakte is daarom $3,2 \cdot 8,4 = 26,88$ m².

Opgave 12

Hiernaast zie je het bedoelde (rechthoekige) trapezium.
De zijde waar $83,2$ m bij staat heeft een preciese lengte van $\sqrt{45^{2} + 70^{2}} = \sqrt{6925}$ .
De langste zijde van het trapezium is $\sqrt{6925 + {6,5}^{2}} = \sqrt{6967,25} \approx 83,5$ m.

Behalve twee rechte hoeken is er een hoek van ongeveer $86 °$ en een hoek van ongeveer $94 °$ .

Opgave 13

Als $h$ de hoogte van de boom is, dan is $\frac{6}{1000} \cdot h = 2$ cm.
Dus is $h = \frac{2000}{6} \approx 333,3$ cm. Het is daarom maar een klein boompje van ongeveer $3,33$ m.

Als $a$ de afstand tot het vrijheidsbeeld is geldt: $\frac{6}{a} \cdot 9300 = 2$ . Dit betekent $a = 27900$ cm, dat is $279$ m.

Opgave 14

$\frac{(E Q)}{(A Q)} = \frac{(E P)}{(A C)} = \frac{(E P)}{(E Q)} = \frac{(E F)}{(G F)} = \frac{2}{8}$ .
Neem $A Q = x$ , dan is $E Q = x - 8$ . Dus is $\frac{x - 8}{x} = \frac{2}{8}$ . Dit levert op $A Q = x = 10 \frac{2}{3}$ .

Opgave 15

Doen.

$A S = \sqrt{8}$ en $S M = 5$ geeft $A M = \sqrt{33}$ .
Nu is $M P = M Q = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{2}$ en $Δ A M P$ en $Δ A M Q$ zijn rechthoekig.
$A P = A Q = \sqrt{35}$ .

$tan (∠ A P M) = \frac{\sqrt{33}}{\sqrt{2}}$ , dus $∠ A P M \approx 76 °$ . Dit betekent dat $∠ A Q M \approx 76 °$ en $∠ P A Q \approx 28 °$ .

verder | terug