Ruimtelijke figuren

Ruimtelijke figuren > Totaalbeeld

123456Totaalbeeld

Antwoorden van de opgaven

Opgave 1

Hier zie je vooraanzicht en zijaanzicht. Het bovenaanzicht staat bij c.

De hoogte van zo'n trapezium is $\sqrt{3^{2} + 2^{2}} = \sqrt{13}$ .
De zijden zijn $10$ , $6$ en $\sqrt{17}$ dm.
De hoeken zijn $61 °$ en $119 °$ .

In het bovenaanzicht zie je meteen dat de vier schuine opstaande ribben van het middelste deel niet in één punt samenkomen.

Er zijn veel goede uitslagen mogelijk. Let vooral op de correcte afmetingen van de trapezia.
Bij twijfel laten controleren!

Opgave 2

De afgesneden kegel heeft een hoogte $h$ waarvoor geldt: $\frac{64}{46} h = h + 90$ , zodat $h = 230$ mm.
De uitslag van dit koffiebekertje is daarom een sector uit een cirkel met een straal van $\sqrt{310^{2} + 32^{2}}$ min een sector uit een cirkel met een straal van $\sqrt{230^{2} + 23^{2}}$ met hetzelfde middelpunt. De sectorhoek is $\frac{32}{\sqrt{310^{2} + 32^{2}}} \cdot 360 ° \approx 37 °$ . En natuurlijk moet je de bodem (een cirkel met een straal van $23$ mm) niet vergeten.

Opgave 3

Zie figuur.

De zijden hebben een lengte van $\sqrt{3^{2} + 3^{2}} = \sqrt{18}$ , net als de kortste diagonaal.
Elke ruit bestaat dus uit twee gelijkzijdige driehoeken.
De hoeken zijn daarom $60 °$ en $120 °$ .

Zie de figuur hiernaast.

Opgave 4

Zie figuur.

$F G T K$ is een vierhoek met $∠ G F K = 90 °$ , $F G = 6$ , $F K = \sqrt{8}$ , $F K = \sqrt{12}$ en $G T = \sqrt{48}$ m.
$∠ F G T \approx 55 °$ , $∠ F K T \approx 145 °$ en $∠ K T G \approx 70 °$ .

Omdat voorvlak en achtervlak van de schuur evenwijdig zijn, ligt ook $C D$ in vlak $C L K$ .
Teken het snijpunt $P$ van $L K$ en $B F$ en trek $P C$ . Deze lijn snijdt $F G$ in $Q$ .
Teken het snijpunt $R$ van $K L$ en $A E$ en trek $R D$ . Deze lijn snijdt $E H$ in $S$ .
$K Q C D S L$ is de gevraagde doorsnede.

Opgave 5

Omdat $A S = B S = C S = D S = E S = F S = 4$ cm, moet $A T > 4$ cm om een piramide te krijgen.

$A T = \sqrt{6^{2} + 4^{2}} = \sqrt{52}$ cm.

De doorsnede door $M$ wordt een gelijkbenige driehoek met een basis van $4 \sqrt{3}$ en een hoogte van $3$ cm. De doorsnede door $N$ is eenzelfde driehoek.
De doorsnede door $S$ wordt een gelijkbenige driehoek met een basis van $4 \sqrt{3}$ en hoogte $S T = 6$ cm.

Opgave 6De vijf regelmatige lichamen

De vijf regelmatige lichamen

Dit is een echt pittige opgave, beschouw hem als een uitdaging!

Tetraëder: $h = \frac{1}{3} r \sqrt{6}$ .
Kubus: $h = r$ .
Octaëder: $h = r \sqrt{2}$ .

Alle grensvlakken zijn regelmatige veelhoeken. De hoeken daarvan zijn $60 °$ (bij driehoeken), $90 °$ (bij vierhoeken), $108 °$ (bij vijhoeken), $120 °$ (bij zeshoeken), etc. De hoeken om elk hoekpunt van de figuur moeten samen kleiner zijn dan $360 °$ , anders krijg je geen ruimtelijke figuur. Verder komen er in zo'n hoekpunt altijd $3$ of meer vlakken bij elkaar. Het aantal mogelijkheden is dus beperkt:

Komen er drie (gelijkzijdige) driehoeken in elk hoekpunt bij elkaar, krijg je een tetraëder (regelmatig viervlak).
Komen er vier (gelijkzijdige) driehoeken in elk hoekpunt bij elkaar, krijg je een octaëder (regelmatig achtvlak).
Komen er vijf (gelijkzijdige) driehoeken in elk hoekpunt bij elkaar, krijg je een icosaëder (regelmatig twintigvlak).
Komen er drie vierkanten in elk hoekpunt bij elkaar, krijg je een kubus.
Komen er drie regelmatige vijfhoeken in elk hoekpunt bij elkaar, krijg je een dodecaëder (regelmatig twaalfvlak).

Alle andere mogelijkheden leveren $360 °$ of meer op voor de hoeken rond elk hoekpunt...

Zie www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/euler/ voor 19 bewijzen van de formule van Euler (Engelstalig).

Opgave 7Tafeltje

Tafeltje

Het bovenaanzicht wordt een vierkant met zijden van $40$ mm en de twee diagonalen er in.
Bij elk hoekpunt en het snijpunt van de diagonalen komen twee letters: $P$ en $Q$ bij het snijpunt van de diagonalen en verder bij elk hoekpunt de letters van de punten die recht boven elkaar liggen.

$P$ ligt $46 - 13 = 33$ cm boven het midden van het grondvlak. De lengte van $A P$ is $\sqrt{20^{2} + 20^{2} + 33^{2}}$ . De lengte van $A F$ is $\sqrt{40^{2} + 46^{2}}$ . De gevraagde lengte is $8 \cdot \sqrt{1889} + 8 \cdot \sqrt{3716} \approx 835$ cm.

De lengte van $P Q$ is $46 - 2 \cdot 13 = 20$ .
$Q S : S G = P Q : C G = 20 : 46$ (of $Q S : S G = Q M : M N = 10 : 23$ , waarbij $M$ en $N$ de middens zijn van respectievelijk $P Q$ en $E G$ ). $Q S = \frac{20}{66} \cdot \sqrt{1889}$ geeft $132$ mm (of $13,2$ cm).

(bron: herexamen wiskunde B1,2 havo 2000, opgave 5)

Opgave 8Showmodel

Showmodel

De oppervlakte van de hele kubus is $6 \cdot 100^{2} = 60000$ cm². De oppervlakte van (bijvoorbeeld) $Δ H P Q$ is $\frac{1}{2} \cdot 20^{2} = 200$ cm². De gevraagde oppervlakte is $60000 - 3 \cdot 200 = 59400$ cm².

Zie figuur.

$B H = 100 \sqrt{3}$ en de hoogte van viervlak $H . P Q R$ is $H Z$ (met $Z$ zwaartepunt van driehoek $P Q R$ ). De zwaartelijnen van $Δ P Q R$ zijn $10 \sqrt{6}$ en $P Z = \frac{20}{3} \sqrt{6}$ . $H Z^{2} = 20^{2} - {(\frac{20}{3} \cdot \sqrt{6})}^{2}$ , dus $H Z = \frac{20}{3} \cdot \sqrt{3}$ . De hoogte van $B$ boven de sokkel is $100 \sqrt{3} - \frac{20}{3} \sqrt{3} \approx 161,66$ .
$161,66 + 20$ is minder dan $185$ (cm).

(bron: examen wiskunde B1,2 havo 2001, opgave 5, aangepast)

Opgave 9Etagère

Etagère

Je krijgt drie gelijkbenige rechthoekige driehoeken met rechthoekszijden van $5$ cm.

De afstand van $K$ tot de muur is gelijk aan $3 \cdot A L$ . $A L = 12,5 \sqrt{2} \approx 17,68$ . De gevraagde afstand is $53$ cm.

De grijze (rechthoekige) driehoeken hebben een hoek van $60 °$ bij de hoekpunten $S$ , $T$ en $U$ . De rechthoekszijde van een gearceerde driehoek die bij een hoekpunt ligt, is $\frac{25}{tan (60 °)}$ . De schuine zijde van een gearceerde driehoek is $\frac{25}{sin (60 °)}$ .
$S T = 25 + \frac{25}{sin (60 °)} + \frac{25}{tan (60 °)} \approx 68$ cm.

(bron: herexamen wiskunde B1,2 havo 2004, opgave 3, aangepast)

verder | terug