Oppervlakte en inhoud

Oppervlakte en inhoud > Oppervlakte vlakke figuren

Overzicht

12345Oppervlakte vlakke figuren

Antwoorden van de opgaven

Opgave 1

$o p p (driehoek) = \frac{1}{2} \cdot basis \cdot hoogte$

$o p p (gelijkz .driehoek) = \frac{1}{4} \sqrt{3} \cdot z^{2}$ waarin $z$ de lengte van een zijde is.

$o p p (parm) = basis \cdot hoogte$

$o p p (trapezium) = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h$ waarin $a$ en $b$ de lengtes van de twee evenwijdige zijden en $h$ de hoogte (de afstand tussen beide evenwijdige zijden) is.

$o p p (cirkel) = π r^{2}$

Opgave 2

Doen.

$Δ A D C$ is een halve rechthoek met oppervlakte $\frac{1}{2} \cdot p \cdot h$ .
$Δ B D C$ is een halve rechthoek met oppervlakte $\frac{1}{2} \cdot q \cdot h$ .
De oppervlakte van $Δ A B C$ is $\frac{1}{2} \cdot p \cdot h + \frac{1}{2} \cdot q \cdot h = \frac{1}{2} \cdot (p + q) \cdot h = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h$ .

$Δ D B C$ is een halve rechthoek met oppervlakte $\frac{1}{2} \cdot (p + b) \cdot h$ .
$Δ D A C$ is een halve rechthoek met oppervlakte $\frac{1}{2} \cdot p \cdot h$ .
De oppervlakte van $Δ A B C$ is $\frac{1}{2} \cdot (p + b) \cdot h - \frac{1}{2} \cdot p \cdot h = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h$ .

Opgave 3

De oppervlakte van een cirkel kun je benaderen door de oppervlakte van een regelmatige $n$ -hoek waarvan de hoekpunten op de cirkel liggen. Die benadering wordt steeds beter als $n$ groter wordt.
Die regelmatige $n$ -hoek bestaat uit $n$ gelijkbenige driehoeken met basis $b \approx \frac{2 π r}{n}$ en hoogte $h \approx r$ . (Ook dat klopt steeds beter als $n$ groter wordt.)
De oppervlakte van de cirkel is de oppervlakte van $n$ van die driehoeken, dus $n \cdot \frac{1}{2} \cdot b \cdot h \approx n \cdot \frac{2 π r}{n} \cdot r = π r^{2}$ .

Opgave 4

Opp(I) $= \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 13 sin (40 °) \approx 16,71$
Opp(II) $= 3 \cdot 13 sin (50 °) \approx 29,88$
Opp(III) $= \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 - \frac{1}{4} \cdot π \cdot 2^{2} \approx 6,86$
Opp(IV) $= \frac{1}{2} \cdot π \cdot {(\frac{(\sqrt{18})}{2})}^{2} - (\frac{1}{4} \cdot π \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3) \approx 0,26$
Opp(V) $= \frac{1}{2} \cdot π \cdot 3^{2} - π \cdot {1,5}^{2} \approx 7,07$

Opgave 5

De oppervlakte is $0,5 \cdot 0,5 \cdot 2 + 1,5 \cdot 2 + 0,5 \cdot 1 \cdot 2 = 4,5$ cm².

Trek bijvoorbeeld diagonaal $A C$ , er ontstaan dan de twee driehoeken $A C D$ en $A B C$ .
De oppervlakte is dan $0,5 \cdot 1,5 \cdot 2 + 0,5 \cdot 3 \cdot 2 = 4,5$ cm².

Nu wordt de oppervlakte $0,5 \cdot (3 + 1,5) \cdot 2 = 4,5$ cm².

Opgave 6

$6 \cdot 0,5 \cdot 5 \cdot \frac{2,5}{tan (30 °)} = 37,5 \sqrt{3} \approx 64,95$

$5 \cdot 0,5 \cdot 5 \cdot \frac{2,5}{tan (36 °)} \approx 43,01$

$20 \cdot 5 sin (9 °) \cdot 5 cos (9 °) \approx 77,25$

Ongeveer $π \cdot 5^{2} - 77,25 \approx 1,29$ .

Opgave 7

De oppervlakte van de cirkelsector is $\frac{60}{360} \cdot π \cdot 2^{2} \approx 2,09$ .

De oppervlakte van de cirkelsector is $\frac{75}{360} \cdot π \cdot {1,5}^{2} \approx 1,47$ .

Doen.

Opgave 8

De halve sectorhoek $α$ bereken je uit $sin (α) = \frac{2}{3}$ . Dit geeft $α \approx 41,8 °$ .
De oppervlakte van het segment is $\frac{83,6}{360} \cdot π \cdot 3^{2} - 0,5 \cdot 4 \cdot \sqrt{3^{2} - 2^{2}} \approx 2,10$ .

Opgave 9

$2 \cdot 0,5 \cdot 6 \cdot 2 = 12$

De hoogte van de twee driehoeken $A C D$ en $A B C$ waarin je de vlieger verdeeld verandert daardoor niet, zelfs niet als dit snijpunt op het verlengde van $A C$ ligt.

De oppervlakte van een vlieger met diagonalen met lengtes $p$ en $q$ is $\frac{1}{2} \cdot p \cdot q$ .

Opgave 10

Opp(I) $= \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 7 sin (20 °) \approx 7,18$ .
Opp(II) $= \frac{1}{2} \cdot (7 + 3) \cdot 7 sin (50 °) \approx 26,81$ .
Figuur III is het verschil van een gelijkbenige driehoek met zijden van $13$ , $13$ en $2 \cdot 13 sin (15 °) \approx 6,73$ en een gelijkbenige driehoek met zijden van $5$ , $5$ en $\sqrt{5^{2} - {(13 sin (15 °))}^{2}} \approx 3,70$ . Opp(III) $= \frac{1}{2} \cdot 26 sin (15 °) \cdot 13 cos (15 °) - \frac{1}{2} \cdot 26 sin (15 °) \cdot \sqrt{5^{2} - {(13 sin (15 °))}^{2}} \approx 29,81$ .
Opp(IV) $= 2 \cdot (\frac{1}{4} π \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3) \approx 5,14$ .
Opp(V) $= \frac{1}{4} π \cdot 6^{2} - 2 \cdot \frac{1}{2} π \cdot 3^{2} + 2 \cdot (\frac{1}{4} π \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3) \approx 5,14$ .

Opgave 11

$π \cdot 5^{2} - 8 \cdot \frac{1}{2} \cdot 5 sin (22,5 °) \cdot 5 cos (22,5 °) \approx 43,18$

Opgave 12

De oppervlakte is $3 \cdot \frac{1}{6} π \cdot 30^{2} + 3 \cdot 3 sin (30 °) \cdot 3 cos (30^{o}) \approx 1425,41$ cm².

De omtrek is $3 \cdot 30 + \frac{1}{2} \cdot 2 π \cdot 30 = 90 + 30 π \approx 184,25$ cm.

Opgave 13

Dit is het geval als de oppervlakte van het trapezium dat de voorkant van de bak vormt in twee gelijke delen wordt verdeeld. Dat trapezium heeft een oppervlakte van $\frac{1}{2} \cdot (40 + 50) \cdot 30 = 1350$ cm².
Als de hoogte van de onderste helft $h$ is, is met gelijkvormigheid aan te tonen dat de langste van de twee evenwijdige zijden van dit trapezium gelijk is aan $40 + \frac{1}{3} h$ . De oppervlakte van dit onderste trapezium is de helft van de oppervlakte van het hele trapezium, dus $\frac{1}{2} \cdot (40 + 40 + \frac{1}{3} h) \cdot h = 675$ .
Dit geeft $80 h + \frac{1}{3} h^{2} = 1350$ ofwel: $h^{2} + 240 h - 4050 = 0$ .
Hieruit vind je $h = \frac{-240 + \sqrt{73800}}{2} \approx 15,83$ cm.

De oppervlakte van de waterspiegel is ongeveer $(40 + \frac{1}{3} \cdot 15,83) \cdot 200 \approx 9055$ cm².

Opgave 14

Opp(I) $= \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 sin (40 °) \approx 19,28$
Opp(II) $= \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{18} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{18} \cdot tan (65 °) \approx 14,15$
Opp(III) $= \frac{1}{2} \cdot (9 + 2) \cdot 6 sin (30 °) = 16,5$
Opp(IV) $= \frac{1}{2} \cdot π \cdot 3^{2} - 5 \cdot \frac{1}{2} \cdot π \cdot 1^{2} = 2 π \approx 6,28$

Opgave 15

Dit zijn twee even grote cirkelsegmenten tegen elkaar.
Elk van die cirkelsegmenten is een cirkelsector met een sectorhoek van $α$ waarvoor geldt: $sin (\frac{1}{2} α) = \frac{1,25}{3}$ .
De sectorhoek is daarom $α \approx 49,25 °$ en de oppervlakte van de sector is ongeveer $\frac{49,25}{360} \cdot π \cdot 3^{2} \approx 3,87$ .
De oppervlakte van een segment is $3, 87 - 0,5 \cdot 2,5 \cdot \sqrt{3^{2} - {1,25}^{2}} \approx 0,46$ .
De gevraagde oppervlakte is ongeveer $0,92$ .

verder | terug