Oppervlakte en inhoud

Oppervlakte en inhoud > Oppervlakte vlakke figuren

12345Oppervlakte vlakke figuren

Uitleg

Bekijk de applet: principe van Cavalieri

De oppervlakte van een figuur vind je door hem te verdelen in rechthoeken en halve rechthoeken, dat geldt zelfs (als benadering) voor een cirkel. Van een rechthoek weet je de oppervlakte: $o p p (rechthoek) = lengte \cdot breedte$ .

Hier zie je hoe de oppervlakte van een driehoek de helft is van de oppervlakte van de rechthoek waarvan de lengte gelijk is aan de basis en de breedte gelijk is aan de hoogte van de driehoek:
$o p p (driehoek) = \frac{1}{2} \cdot basis \cdot hoogte$
In de figuur zie je dat zolang basis en hoogte niet veranderen ook de oppervlakte van de driehoek niet verandert. Je kunt dus de vorm van de driehoek veranderen door $C$ evenwijdig aan de basis te verschuiven zonder de oppervlakte te veranderen. Dit heet het principe van Cavalieri.

Op vergelijkbare wijze vind je oppervlakteformules voor een parallellogram, een trapezium, een vlieger, een gelijkzijdige driehoek, een ruit, enzovoorts.
En de cirkel dan...?

Opgave 2

Bekijk de applet in de Uitleg 1.

Beweeg punt $C$ tot punt $D$ tussen $A$ en $B$ ligt en $A D = 1$ . Laat zien dat de oppervlakte van $Δ A B C$ inderdaad $10$ is door hem in twee halve rechthoeken te verdelen.

Doe hetzelfde als $A D = 2$ .

Teken zelf zo'n scherphoekige driehoek $A B C$ . Neem aan dat $A D = p$ , $B D = q$ , $A B = b$ en $C D = h$ . Toon aan dat opp $(Δ A B C) = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h$ .

Beweeg punt $C$ tot punt $D$ links van $A$ ligt en $A D = 1$ . Laat zien dat de oppervlakte van $Δ A B C$ inderdaad $10$ is door van halve rechthoeken gebruik te maken.

Teken zelf zo'n stomphoekige driehoek $A B C$ met $D$ links van $A$ . Neem aan dat $A D = p$ , $A B = b$ en $C D = h$ . Toon aan dat opp $(Δ A B C) = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h$ .

verder | terug