Oppervlakte en inhoud

Oppervlakte en inhoud > Oppervlakte lichamen

12345Oppervlakte lichamen

Voorbeeld 1

Je ziet hier een rechte kegel met top $T$ en grondvlak een cirkel met straal $M A = r$ . Het lijnstuk $T M$ dat het midden van het grondvlak verbindt met de top staat loodrecht op de grondcirkel, $T M = h$ .
Voor deze kegel is $r = 2$ cm en $h = 6$ .
Leid nu zelf een formule af voor de oppervlakte van de kegelmantel en bereken daarmee de oppervlakte van deze kegel.

> antwoord

De uitslag van zo'n kegel bestaat uit de grondcirkel en de open gevouwen kegelmantel. Deze kegelmantel is een cirkelsector met straal $A T = \sqrt{r^{2} + h^{2}}$ en middelpunt $T$ .

De omtrek van de bijbehorende cirkel is $2 π \sqrt{r^{2} + h^{2}}$ .
De omtrek van de grondcirkel van de kegel is $2 π r$ .

De kegelmantel is daarom het $\frac{2 π r}{2 π \sqrt{r^{2} + h^{2}}}$ deel van een cirkel met een oppervlakte van $π {\sqrt{r^{2} + h^{2}}}^{2}$ .
En dus is: $o p p (kegelmantel) = π r \sqrt{r^{2} + h^{2}}$ .

Met $r = 2$ cm en $h = 6$ wordt de oppervlakte van deze kegel: $2 π \sqrt{40} + 4 π$ .

Opgave 4

In de Theorie kun je lezen dat de oppervlakte van een ruimtelijke figuur, van een lichaam, gelijk is aan de som van de oppervlakten van de grensvlakken van die figuur.

Bereken de oppervlakte van een kubus met ribben van $6$ cm.

Bereken de oppervlakte van een regelmatige vierzijdige piramide met ribben van $6$ cm.

Bereken de oppervlakte van een regelmatig viervlak met ribben van $6$ cm.

Bereken de oppervlakte van een regelmatig driezijdig prisma met ribben van $6$ cm.

Opgave 5

Bekijk Voorbeeld 1. In dat voorbeeld wordt een formule afgeleid voor de oppervlakte van een kegelmantel.

Bereken met behulp van die formule de oppervlakte van een kegel met een straal van $5$ cm en een hoogte van $8$ cm. (Reken het grondvlak mee.)

De gegeven formule kun je ook schrijven als opp(kegelmantel) $= π r R$ , waarin $r = A M$ (de straal van de grondcirkel) en $R = A T$ (de straal van de grotere cirkel waar de kegelmantel een sector van is).

Licht dit toe.

Bereken de oppervlakte van een kegel met een straal van $5$ cm en een hoogte van $8$ cm met deze tweede formule.

Bereken de tophoek van deze kegel in graden nauwkeurig. Bereken ook de sectorhoek van de kegelmantel.

verder | terug