Oppervlakte en inhoud

Oppervlakte en inhoud > Totaalbeeld

12345Totaalbeeld

Antwoorden van de opgaven

Opgave 1

De kap bestaat uit een balk van $10$ bij $8$ bij $1$ , een balk van $6 + 3$ bij $6$ bij $4$ en vier kwartpiramides die je kunt samenvoegen tot een piramide met grondvlak $4$ bij $4$ en hoogte 3. (Het middenstuk is geen afgeknotte piramide!)
Inhoud $= 10 \cdot 8 \cdot 1 + (6 + 3) \cdot 6 \cdot 4 + \frac{1}{3} \cdot 4 \cdot 4 \cdot 3 = 312$ dm³.

Opp $= 2 \cdot 10 \cdot 1 + 2 \cdot 8 \cdot 1 + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot (10 + 6) \cdot \sqrt{13} + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot (8 + 4) \cdot \sqrt{13} + 2 \cdot 6 \cdot 6 + 2 \cdot 6 \cdot 4 = 156 + 28 \sqrt{13}$ dm².

Opgave 2

Het bekertje is een afgeknotte kegel, waarvan het weggehaalde deel een kegel is met een hoogte $h$ waarvoor $\frac{h}{h + 90} = \frac{46}{64}$ . Daaruit volgt: $h = 230$ mm.
De inhoud van het bekertje is $\frac{1}{3} \cdot π \cdot 32^{2} \cdot 310 - \frac{1}{3} \cdot π \cdot 23^{2} \cdot 230 \approx 205010$ mm³ en dat is ongeveer $205$ cm³, dus $0,205$ liter.
De oppervlakte aan plastic is $π \cdot 32 \cdot \sqrt{32^{2} + 310^{2}} - π \cdot 23 \cdot \sqrt{23^{2} + 210^{2}} + π \cdot 23^{2} \approx 16290$ mm².

Opgave 3

$I (kogeltje) = \frac{4}{3} π \cdot 2^{3} = \frac{32}{3} π$
$I (ring) = π \cdot 10^{2} \cdot 4 - π \cdot 6^{2} \cdot 4 = 256 π$
$I (vet) = 256 π - 8 \cdot \frac{32}{3} π = 170 \frac{2}{3} π$
Het percentage aan vet is $66 \frac{2}{3}$ .

Opgave 4

De straal van een tennisbal is $r$ . De drie ballen hebben dan samen een volume van $3 \cdot \frac{4}{3} π r^{3} = 4 π r^{3}$ .
De koker heeft een volume van $π r^{2} \cdot 6 r = 6 π r^{3}$ .
Dus $\frac{2}{6}$ deel is lucht, dat is $33 \frac{1}{3}$ %.

Opgave 5

De binnenkant van de fruitbak is een afgeknotte kegel met een hoogte van $160$ cm. De hoeveelheid plastic is $π \cdot 20^{2} \cdot 41 - (\frac{1}{3} \cdot π \cdot 20^{2} \cdot 160 - \frac{1}{3} \cdot π \cdot 15^{2} \cdot 120) = 4066 \frac{2}{3} π \approx 12776$ cm³.

Het gewicht is ongeveer $6388$ gram.

Opgave 6

De hoogte van het bovenste deel van de piramide is $\frac{8}{12} = \frac{2}{3}$ deel van de hele piramide. De inhoud van het bovenste deel is daarom ${(\frac{2}{3})}^{3} = \frac{8}{27}$ deel van de hele piramide. De gewichten van beide delen verhouden zich als $8$ : 27.

Opgave 7

$\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 \cdot 2 + \frac{1}{3} \cdot 10 \cdot 4 = 29 \frac{1}{3}$

Zie figuur hieronder.

Zie figuur bij c.

Zie punt $P$ in de uitslag. $C S = 8$ , $C T$ = 6, $S T = \sqrt{8^{2} + 6^{2}} = 10$ , $C P = \frac{6}{10} \cdot 8 = 4,8$ .
$P F = \sqrt{{4,8}^{2} + 6^{2} \approx 7,68}$ . Dus $P F \approx 76,8$ cm en een stang van $75$ cm is te kort.

Opgave 8De Meeh-coëfficiënt

De Meeh-coëfficiënt

$G = 1,5 r^{3}$ en $H = 6 r^{2}$ dus $H = 6 \cdot {({(\frac{G}{1,5})}^{\frac{1}{3}})}^{2} \approx 4,58 G^{\frac{2}{3}}$ .

$G = 1,5 \cdot \frac{4}{3} π r^{3}$ en $H = 4 π r^{2}$ dus $H = 4 π \cdot {({(\frac{G}{2 π})}^{\frac{1}{3}})}^{2} \approx 3,69 G^{\frac{2}{3}}$ .

$G = 1,5 \cdot π r^{3}$ en $H = 4 π r^{2}$ dus $H = 4 π \cdot {({(\frac{G}{1,5 π})}^{\frac{1}{3}})}^{2} \approx 4,47 G^{\frac{2}{3}}$ .

Zie de voorgaande antwoorden. De Meeh-coëfficiënten van deze voorwerpen zijn laag, want ze hebben een vrijwel ideale vorm.

Opgave 9Voetstuk

Voetstuk

De gevraagde hoek is gelijk aan $∠ A B H$ in de rechter figuur in de opgave. $tan (∠ A B H) = \frac{40}{20} = 2$ dus gevraagde hoek is ongeveer $63 °$ .

Zie de verkleinde figuur hieronder.

$G H = 10 \sqrt{2}$ . De omtrek van de achthoek is $4 \cdot 10 \sqrt{2} + 4 \cdot 40 \approx 217$ . Er is ongeveer $500 - 217 = 283$ cm lint over.

De vier lange zijden hebben een lengte van $85$ cm. De vier korte zijden hebben een lengte van $2,5 \sqrt{2}$ cm. De totale omtrek is (afgerond) $354$ cm. Er blijft $146$ cm lint over.

De afstand van lijn $A B$ tot lijn $F G$ is $\sqrt{40^{2} + 20^{2}} = \sqrt{2000}$ . De oppervlakte van vierhoek $A B G F$ is $70 \cdot \sqrt{2000}$ . De totale oppervlakte is $4 \cdot 70 \cdot \sqrt{2000} \approx 12522$ cm².

(bron: examen wiskunde B1,2 havo 2003, opgave 1)

Opgave 10Koffiefilter en koffiefilterhouder

Koffiefilter en koffiefilterhouder

$sin (\frac{1}{2} ∠ C M D) = \frac{3}{4,8}$ , dus $∠ C M D \approx 77 °$ .

Punt $M$ tekenen uitgaande van de ligging van lijnstuk $A B$ . Dan de cirkelboog $C D$ tekenen en de tekening verder afmaken (hoek van $77 °$ of spiegeling in lijn $M D$ gebruiken).

$D F = \sqrt{{10,5}^{2} - {9,9}^{2})} \approx 3,5$ . De middellijn $C D$ is $2 (3 + 3,5) = 13,0$ cm.

Op eenderde deel van de hoogte is $P Q$ gelijk aan $4 \frac{1}{3}$ . Op eenderde deel van de hoogte is $Q R$ gelijk aan 4. De oppervlakte is $4 \frac{1}{3} \cdot 4 + π \cdot {(2 \frac{1}{6})}^{2} \approx 32$ cm².

(bron: examen wiskunde B1,2 havo 2004)

Opgave 11Kaas

Kaas

De oppervlakte van de rechthoek is $30 \cdot 10 = 300$ cm². De oppervlakte van de twee halve cirkels is samen $π \cdot 5^{2} \approx 79$ cm². De oppervlakte van de vlakke zijkant is $379$ cm².

De hoogte van een rechthoekige driehoek met schuine zijde $20$ en basishoek 40° moet worden berekend. De hoogte is $20 \cdot sin (40 °) \approx 12,9$ . De binnenkant van het doosje moet minimaal $13$ cm hoog zijn.

$\frac{1}{6} π \cdot 8^{2} + \frac{1}{6} π^{2} \cdot d \cdot 8^{2} + \frac{1}{4} π \cdot d^{2} \cdot 8 = 5000$ geeft $2 π d^{2} + 10 \frac{2}{3} π d + 10 \frac{2}{3} π - 5000 = 0$ .
Deze vergelijking kun je oplossen met de $a b c$ -formule. Dit geeft $d \approx -34,4 \lor d \approx 21,9$ .
De totale diameter van een kaas is (ongeveer) $21,9 + 2 \cdot 4 = 29,9$ cm en $\frac{350}{29,9} \approx 11,7$ dus er passen maximaal $11$ kazen naast elkaar.

$d = 0$ en $h = 2 r$ invullen in de gegevens formule geeft $V = \frac{4}{3} π r^{3}$ .

(bron: herexamen wiskunde B havo 2009, opgave 1)

verder | terug