Exponentiële functies

Exponentiële functies > Reële exponenten

123456Reële exponenten

Voorbeeld 1

Thomas Robert Malthus leefde in het begin van de 19e eeuw. Hij dacht dat de groei van de wereldbevolking wel eens exponentieel zou kunnen zijn. In deze tabel zie je het aantal mensen op aarde in de negentiende eeuw.

jaartal	1800	1820	1840	1860	1880	1900
aantal mensen (in miljoenen)	1000	1102	1216	1340	1477	1629

Stel een model op voor de bevolkingsgroei in die tijd in de vorm van een passend functievoorschrift. Maak er een grafiek bij en bereken hoeveel mensen er in $1600$ en in 2000 volgens dit model hadden moeten zijn.

> antwoord

Van $1800$ ” $1820$ wordt het aantal mensen vermenigvuldigd met: $\frac{1102}{1000} = 1,102$ .
Controleer dat dit voor elke volgende periode van $20$ jaar ook ongeveer zo is.
Vanaf $1800$ tot 1900 groeide de wereldbevolking met een vrijwel constante groeifactor per $20$ jaar van $1,102$ . De groeifactor per jaar is dan ${1,102}^{\frac{1}{20}} \approx 1,005$ .
Neem je de tijd $t$ in jaren met $t = 0$ in $1800$ en het aantal miljoenen mensen $N$ , dan is:
$N (t) = 1000 \cdot {1,005}^{t}$ .

In $1600$ zouden er dan $1000 \cdot {1,005}^{-200} \approx 369$ mln mensen zijn geweest.
In 2000 zouden er dan $1000 \cdot {1,005}^{200} \approx 2712$ mln mensen zijn geweest. (In werkelijkheid waren dat er nog veel meer, namelijk meer dan $6000$ mln!)

Opgave 5

In Voorbeeld 1 zie je de groei van de wereldbevolking in de negentiende eeuw.

Bereken de aantallen mensen in $1600$ en in 2000 met behulp van de groeifactor per $20$ jaar. Ontstaan er verschillen met de antwoorden in het voorbeeld?

Doe dit nog eens met behulp van de groeifactor per $5$ jaar.

Bereken met behulp van het groeimodel in Voorbeeld $1$ het aantal mensen in 2008.

Wanneer zou volgens dit groeimodel het aantal mensen verdubbeld zijn t.o.v. het aantal in 1900?

verder | terug