Voor het aantal bacteriën $B$ (in gram) in een petrischaaltje na $t$ uur geldt de formule $B=6\cdot 2^t$.

Elk uur verdubbelt het aantal bacteriën.
Als je aanneemt dat dit voor 12:00 uur ook het geval was, dan zal er om 11:00 uur $6\cdot \frac{1}{2}=3$ gram bacteriën in het schaaltje hebben gezeten. Het aantal gram bacteriën in voorgaande uren bereken je door telkens te delen door $2$ (vermenigvuldigen met $\frac{1}{2}$).
Met het functievoorschrift $B\left(t\right)=6\cdot 2^t$ kun je het aantal bacteriën $t$ uur na 12:00 uur berekenen voor positieve gehele getallen $t$. Wil je met deze formule ook het aantal gram bacteriën $1$ uur voor 12:00 uur kunnen berekenen, dan moet: $B\left(-1\right)=6\cdot 2^{-1}=300$.
Blijkbaar moet je afspreken dat $2^{-1}=\frac{1}{2}$.
Ook voor andere tijdstippen voor 12:00 uur wil je het functievoorschrift kunnen gebruiken. Dus moet gelden:

• op tijdstip $t=-2$ (10:00 uur): $6\cdot 2^{-2}=6\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\mathrm{1,5}$ gram;
• op tijdstip $t=-3$ (9:00 uur): $6\cdot 2^{-3}=6\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\mathrm{0,75}$ gram;

enzovoort. Je moet dus ook afspreken dat $2^{-2}=\frac{1}{2^2}$ en $2^{-3}=\frac{1}{2^3}$, enzovoort.

Je spreekt in het algemeen af, dat $g^{\mathrm{-}n}=\frac{1}{g^n}$.
En daarmee kun je met negatieve exponenten rekenen. Let op: nu moet $g$ niet $0$ zijn!

Voor het aantal gram bacteriën $B$ in een petrischaaltje na $t$ uur geldt $B=6\cdot 2^t$.

Elk uur verdubbelt het aantal bacteriën, het groeit met groeifactor $2$.
Het aantal bacteriën groeit ook met een vaste groeifactor per half uur, per kwartier, enzovoort. Voor de groeifactor per half uur schrijf je $2^{\frac{1}{2}}$. Voor de groeifactor per kwartier schrijf je $2^{\frac{1}{4}}$, voor de groeifactor per anderhalf uur schrijf je $2^{1\frac{1}{2}}$, enzovoort.

Maar welk getal stelt $2^{\frac{1}{2}}$ nu eigenlijk voor?

De groeifactor per uur kun je vinden door de groeifactor per half uur twee keer toe te passen: $2^{\frac{1}{2}}\cdot 2^{\frac{1}{2}}={\left(2^{\frac{1}{2}}\right)}^2=2$.
Je weet dat ${\left(\sqrt{2}\right)}^2=2$.
Blijkbaar geldt: $2^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}$.

Op dezelfde manier kun je beredeneren dat voor de groeifactor per kwartier geldt: $2^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{2}$.

Je spreekt in het algemeen af dat $g^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{g}$.
En daarmee kun je met gebroken exponenten rekenen. Let op: nu moet $g$ positief zijn om altijd een reële uitkomst op te leveren.