Machtsfuncties

Machtsfuncties > De abc-formule

Overzicht

123456De abc-formule

Antwoorden van de opgaven

Opgave 1

$g (x) = 2 {(x + 1)}^{2} + 7 = 2 x^{2} + 4 x + 9$ .

De grafieken bij beide functievoorschriften vergelijken.

Dalparabool als $a > 0$ , bergparabool als $a < 0$ .

Aflezen uit $g (x) = 2 {(x + 1)}^{2} + 7$ . De top is $(-1, 7)$ .

Zie de Uitleg 1.

Opgave 2

$f (x) = x^{2} - 6 x + 1 = {(x - 3)}^{2} - 9 + 1 = {(x - 3)}^{2} - 8$

Top is $(3, -8)$ .

${(x - 3)}^{2} - 8 = 0$ geeft $x - 3 = \pm \sqrt{8}$ en dus zijn de nulpunten $(3 - \sqrt{8}, 0)$ en $(3 + \sqrt{8}, 0)$ .
In twee decimalen nauwkeurig: $(0,17; 0)$ en $(5,83; 0)$ .

Opgave 3

$f (x) = x^{2} + 12 x = {(x + 6)}^{2} - 36$

$g (x) = x^{2} - 8 x + 15 = {(x - 4)}^{2} - 16 + 15 = {(x - 4)}^{2} - 1$

$h (x) = 2 x^{2} - 12 x - 12 = 2 (x^{2} - 6 x - 6) = 2 ({(x - 3)}^{2} - 15) = 2 {(x - 3)}^{2} - 30$

$k (x) = - x^{2} + 4 x + 3 = - (x^{2} - 4 x - 3) = - ({(x - 2)}^{2} - 7) = - {(x - 2)}^{2} + 7$

Opgave 4

Ga na, dat je hetzelfde antwoord krijgt als in de Uitleg 2.

Je vindt nu $x = \frac{6 + \sqrt{32}}{2} \lor x = \frac{6 - \sqrt{32}}{2}$ .
Ga na, dat dit hetzelfde is als $x = 3 + \sqrt{8} \lor x = 3 - \sqrt{8}$ .

Doen, je kunt dan nagaan op welke manier je aan de abc-formule komt.

Bekijk het bewijs bij de Theorie .

Opgave 5

$x^{2} - 12 x = 30$ geeft ${(x - 6)}^{2} - 36 = 30$ en dus ${(x - 6)}^{2} = 66$ zodat $x = 6 \pm \sqrt{66}$ .

Met de abc-formule vind je waarschijnlijk $x = \frac{12 \pm \sqrt{264}}{2}$ .
Ga zelf na dat dit hetzelfde is als bij a.

Opgave 6

$f (x) = 2 x^{2} - 6 x + 2 = 2 {(x - 1,5)}^{2} - 2,5$ .
Top $(1,5; -2,5)$ . Nulpunten $(1,5 \pm \sqrt{1,25}, 0)$ , dus ongeveer $(0,38; 0)$ en $(2,62; 0)$ .

$a = 2$ , $b = -6$ en $c = 2$ geeft $D = 20$ .

$D > 0$ , dus twee nulpunten.

Doen, je moet de uitdrukking met wortels nog wel wat manipuleren om na te gaan dat je hetzelfde krijgt dan bij a. Je kunt ook de benaderingen vergelijken...

Midden tussen beide nulpunten zit de symmetrieas: $x = 1,5$ . Omdat $f (1,5) = -2,5$ vind je dezelfde top als bij a.

Opgave 7

$3 x^{2} + 5 x - 8 = 0$ geeft $x = \frac{-5 \pm \sqrt{121}}{6}$ en dus $x = -2 \frac{2}{3} \lor x = 1$ .

$-2 \frac{2}{3} < x < 1$

Opgave 8

abc-formule: $x = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$

abc-formule met $D < 0$ dus geen oplossingen.

$2 x^{2} - 12 x + 16 = 0$ geeft $x^{2} - 6 x + 8 = 0$ en $(x - 2) (x - 4) = 0$ , zodat $x = 2 \lor x = 4$ .

EErst op $0$ herleiden en dan de abc-formule met $D < 0$ dus geen oplossingen.

$x^{2} - 7 x - 8 = 0$ geeft $(x - 8) (x + 1) = 0$ en dus $x = 8 \lor x = -1$ .

Opgave 9

Top $(-1, 2)$

Top $(- \frac{1}{2}, 2 \frac{3}{4})$

Nulpunten en top vallen dan samen: $D = 0$ geeft $k^{2} - 12 = 0$ en dus $k = \pm \sqrt{12}$ .

Kwadraat afsplitsen geeft $f (x) = {(x - \frac{1}{2} k)}^{2} - \frac{1}{4} k^{2} + 3$ , dus top $(\frac{1}{2} k, - \frac{1}{4} k^{2} + 3)$ .
Dit punt ligt op $y = 1$ als $- \frac{1}{4} k^{2} + 3 = 1$ , dus $k = \pm \sqrt{8}$ .

Opgave 10

Nulpunten $(-1, 0)$ en $(5, 0)$ en top $(2, 1)$ .

$f (x) = -4 x + 5$ is het voorschrift van een lineaire functie.

$D = 0$ geeft $16 - 20 p = 0$ en dus $p = 0,8$ .

Opgave 11

$f (x) = x^{2} + 8 x - 20 = {(x + 4)}^{2} - 36$ , top $(-4, -36)$ .

${(x + 4)}^{2} - 36 = 0$ geeft ${(x + 4)}^{2} = 36$ en dus $x = - 4 \pm \sqrt{36}$ zodat $x = -10 \lor x = 2$ .

$x = \frac{-8 \pm \sqrt{144}}{2}$

$x^{2} + 8 x - 20 = (x + 10) (x - 2)$

Opgave 12

$2 x^{2} - x + 1 = 10 - 3 x$ geeft $2 x^{2} + 2 x - 9 = 0$ en $x = \frac{-2 \pm \sqrt{76})}{2}$ .

$x < -2,679 \lor x > 1,679$

Opgave 13

$x^{2} - 3 x - 13 = 0$ geeft $x = \frac{3 \pm \sqrt{61})}{2}$ .

$x^{2} + 30 x + 3 = 0$ geeft $x = \frac{-30 \pm \sqrt{888}}{2}$ .

$2 x^{2} - 6 x = 0$ geeft $2 x (x - 3) = 0$ en $x = 0 \lor x = 3$ .

$2 x^{2} - 12 x + 18 = 0$ geeft $x^{2} - 6 x + 9 = 0$ en ${(x - 3)}^{2} = 0$ zodat $x = 3$ .

$x^{2} - 5 x + 10 = 0$ met $D = -15$ , geen oplossingen.

$x^{2} - x - 12 = 0$ geeft $(x - 4) (x + 3) = 0$ en dus $x = 4 \lor x = -3$ .

$x^{2} = 60$ geeft $x = \pm \sqrt{60}$ .

$\frac{1}{3} x^{2} = 4$ geeft $x^{2} = 12$ en dus $x = \pm \sqrt{12}$ .

$5 x^{2} - x + 3 = 0$ en $D = -59$ , geen oplossingen.

Opgave 14

Oefen jezelf met AlgebraKIT. Daarin kun je ook de antwoorden bekijken en uitleg uitklappen.

Opgave 15

$f (x) = 2 {(x + 1 \frac{1}{2})}^{2} - 2 \frac{1}{2}$ geeft top $(-1 \frac{1}{2}, -2 \frac{1}{2})$ .

$D = 36 - 8 p^{2} = 0$ geeft $p = \pm \sqrt{4,5}$ .
Verder is de grafiek van $f$ een rechte lijn als $p = 0$ . Ook dan is er één punt met de $x$ -as gemeen.

Als $D > 0$ en dus $p < - \sqrt{4,5} \lor p > \sqrt{(4, 5)}$

$p x^{2} + 6 x + 2 p = 6 - x$ geeft $p x^{2} + 7 x + 2 p - 6 = 0$ .
$D = 0$ geeft $49 - 4 p (2 p - 6) = 0$ en dit geeft $p = \frac{24 \pm \sqrt{2144}}{16}$ .
Er is ook één snijpunt als $p = 0$ .

Opgave 16

$(x - 5) (x + 3) = 0$ dus $x = 5 \lor x = -3$ .

$x^{2} + x + 1 = 0$ met $D = -3$ , dus geen oplossingen.

$x^{2} = 9$ dus $x = \pm 3$

$x^{2} + 2 x - 14 = 0$ geeft $x = \frac{-2 \pm \sqrt{60}}{2}$ .
De oplossing van de ongelijkheid wordt: $\frac{-2 - \sqrt{60}}{2} < x < \frac{-2 + \sqrt{60}}{2}$ .

$x^{2} - x + 7 = 0$ met $D = -27$ , geen oplossingen.
De oplossing van de ongelijkheid bestaat nu uit alle waarden van $x$ .

Opgave 17

Nulpunten: $p - x^{2} = 0$ , dus $p = x^{2}$ . Geen oplossingen als $p < 0$ .

$4 - x^{2} = x^{2} - 3 x$ geeft $2 x^{2} - 3 x - 4 = 0$ en $x = \frac{3 \pm \sqrt{41}}{4}$ .
Snijpunten $(2,35; -1,53)$ en $(-0,85; 3,28)$ .

$p - x^{2} = x^{2} - 3 x$ geeft $2 x^{2} - 3 x - p = 0$ .
$D = 0$ geeft $9 + 8 p = 0$ en $p = - \frac{9}{8}$ .

verder | terug