Machtsfuncties

Machtsfuncties > De abc-formule

123456De abc-formule

Uitleg

De vergelijking $x^{2} + 6 x = 16$ kun je niet oplossen door terugrekenen. Maar... bekijk de figuur hiernaast eens.
Zie je dat $x^{2} + 6 x = {(x + 3)}^{2} - 3^{2}$ ?
Dit betekent dat je de gegeven vergelijking kunt schrijven als: ${(x + 3)}^{2} - 9 = 16$ .
En nu komt $x$ weer op één plek voor en kun je terugrekenen:

${(x + 3)}^{2} - 9$	$=$	$16$	beide zijden $9$ optellen
${(x + 3)}^{2}$	$=$	$25$	wortel trekken
$x + 3$	$=$	$\pm 5$	beide zijden $3$ aftrekken
$x$	$=$	$-3 \pm 5$

De oplossing van deze vergelijking wordt zo $x = 2 \lor x = -8$ .

Je hebt hier gebruik gemaakt van de algemene formule

$x^{2} + 2 k x = {(x + k)}^{2} - k^{2}$

De gebruikte techniek heet een kwadraat afsplitsen. De geldigheid van deze formule is eenvoudig aan te tonen door de haakjes uit te werken.

Opgave 2

Gegeven is de kwadratische functie $f$ met functievoorschrift $f (x) = x^{2} - 6 x + 1$ .

In de Uitleg 1 kun je nalezen hoe je in een dergelijk functievoorschrift een kwadraat kunt afsplitsen. Doe dat bij deze functie $f$ .

Je weet nu meteen de coördinaten van de top van de grafiek van $f$ . Welke coördinaten heeft de top van de grafiek van $f$ ?

Bereken algebraïsch de nulpunten van de grafiek van $f$ in twee decimalen nauwkeurig.

Opgave 3

Het kwadraat afsplitsen moet je even oefenen. Splits bij de volgende functievoorschriften een kwadraat af:

$f (x) = x^{2} + 12 x$

$g (x) = x^{2} - 8 x + 15$

$h (x) = 2 x^{2} - 12 x - 12$

$k (x) = - x^{2} + 4 x + 3$

verder | terug