Machtsfuncties

Machtsfuncties > De abc-formule

123456De abc-formule

Theorie

Bekijk de applet: Kwadratische functies

Een algemene vorm voor een kwadratische functie is $f (x) = a x^{2} + b x + c$ .
Nu zie je aan het functievoorschrift niet meteen hoe hij door transformatie uit de machtsfunctie $y = x^{2}$ kan ontstaan. Dat is lastig als je de top en de nulpunten van de bijbehorende parabool wilt vinden.

Door kwadraat afsplitsen kun je de functie $f$ omzetten naar de vorm: $f (x) = a {(x - p)}^{2} + q$ waarin $(p, q)$ de top van de grafiek is.
Je gebruikt daarbij de eigenschap:

$x^{2} + 2 k x = {(x + k)}^{2} - k^{2}$

Controleer met de applet dat $f (x) = 2 x^{2} - 4 x$ dezelfde functie is als $g (x) = 2 {(x - 1)}^{2} - 2$ .

Natuurlijk is het handig als je $f (x) = a x^{2} + b x + c$ met behulp van kwadraat afsplitsen omzet naar de vorm waarin je de top en de symmetrieas zo kunt aflezen...

Wiskundigen hebben al lang geleden de abc-formule afgeleid.
Daarmee kun je de vergelijking $a x^{2} + b x + c = 0$ oplossen en zo de nulpunten van de kwadratische functie berekenen. De gevonden oplossing is:
$x = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \lor x = \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

> bewijs

Hieronder zie je een bewijs van de abc-formule. Dat wil zeggen dat je aantoont dat de formule in alle gevallen klopt. Je gaat daartoe $a x^{2} + b x + c = 0$ in algemene zin oplossen met behulp van kwadraat afsplitsen.

Neem aan dat $a \neq 0$ (anders is het ook geen kwadratische vergelijking!). Je kunt dan aan beide kanten van het is gelijkteken delen door $a$ . Dat geeft:

$x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0$

Een kwadraat afsplitsen levert op:

${(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - {(\frac{b}{2 a})}^{2} + \frac{c}{a} = 0$ en ${(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = {(\frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{c}{a} = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}$

Worteltrekken:

$x + \frac{b}{2 a} = \pm \sqrt{\frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}}$

En nu een beetje herleiden:

$x = - \frac{b}{2 a} \pm \sqrt{\frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}} = \frac{- b}{2 a} \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

En hiermee is de abc-formule gevonden.

De uitdrukking $D = b^{2} - 4 a c$ die onder het wortelteken staat heet de discriminant van de kwadratische vergelijking. Omdat alleen de wortel uit een positief getal of $0$ een reëel getal oplevert, bepaalt die discriminant het aantal oplossingen van de vergelijking:

$D > 0$ en er zijn twee oplossingen;
$D = 0$ en er is één oplossing (twee dezelfde);
$D < 0$ en er zijn geen reële oplossingen;

verder | terug