Statistiek

Statistiek > Gegevens samenvatten

123456Gegevens samenvatten

Uitleg

Jouw klas heeft weer eens een toets gehad. Je leraar doet de mededeling: "De toets was goed gemaakt, het gemiddelde van de klas was $7,3$ ". Word je blij of hoor je liever dat het modale cijfer $7,3$ is? Of dat de mediaan $7,3$ is?

Met zo'n mededeling probeert iemand een frequentieverdeling met één getal te karakteriseren:

Het modale cijfer is het cijfer dat het vaakst voorkomt. Hier zegt het niet veel, want misschien komt alleen $7,3$ twee keer voor en zijn alle andere cijfers veel lager, maar wel verschillend.
Ook een mediaan (middelste cijfer) van $7,3$ zegt niet veel, hoewel je dan zeker weet dat de helft van de cijfers zeker hoger of gelijk aan $7,3$ is (en de andere helft is lager).
Het gemiddelde krijg je door alle cijfers op te tellen en te delen door het totaal aantal leerlingen. Maar ben jij een bovengemiddelde leerling?

Al deze getallen zeggen op zichzelf weinig.
Het wordt al beter als er een mededeling over de spreiding van de cijfers bij komt.
Bijvoorbeeld zo: "Het gemiddelde cijfer is $7,3$ en de cijfers hebben een spreiding van $2,2$ ".
Maar dan moet je wel weten wat er onder de spreiding wordt verstaan: het verschil tussen het hoogste en het laagste cijfer bijvoorbeeld is zo'n spreidingsmaat. Maar er bestaan ook andere spreidingsmaten...

Opgave 2

Bestudeer de Uitleg . In de tabel zie je de cijfers behaald bij een wiskundetoets door twee parallelklassen.

Cijfers klas A					Cijfers klas B
6,7	6,4	4,9	3,8	4,0	4,0	6,2	4,9	3,9	5,9
5,6	5,8	6,8	8,2	4,7	7,3	4,7	6,7	7,6	9,4
3,4	8,5	4,1	6,9	7,3	8,3	5,7	7,2	8,7	7,1
6,1	7,5	6,7	6,2	3,4	7,0	6,5	7,4	5,0	4,8
7,9	4,5	8,3			7,7	6,5	4,9	8,8	6,3

Waarom heeft het geen zin om van beide klassen het modale cijfer te vergelijken?

Bepaal van beide klassen de mediaan.

Zegt de mediaan iets over welke klas beter heeft gescoord voor de toets?

Bereken van beide klassen het gemiddelde cijfer.

Welke van beide klassen heeft het hoogste gemiddelde? Kun je nu zonder meer zeggen dat die klas ook beter heeft gescoord?

Opgave 3

Je ziet hier de SE-cijfers van enkele leerlingen aan het eind van HAVO 5. Hun eindcijfer SE is het gemiddelde van deze cijfers.

Neem aan dat elk SE-cijfer even zwaar meetelt voor het eindcijfer. Welk eindcijfer krijgt elke leerling?

De laatste drie cijfers zijn behaald in de vijfde klas. Deze tellen twee keer zo zwaar als de cijfers behaald in klas 4. Wat wordt nu het gemiddelde cijfer van elke leerling?

Ga er in de rest van deze opgave van uit dat alle SE-cijfers even zwaar meetellen.
In de onderstaande figuur is voor elke leerling elk SE-cijfer aangegeven door een bolletje op een getallenlijn (de komma in het cijfer is weggelaten).

De leerlingen A en B hebben hetzelfde gemiddelde. Toch is hun cijferbeeld nogal verschillend. Hoe komt dat?

De spreiding van de cijfers van A en C is vrijwel hetzelfde. Waarin verschilt hun cijferbeeld vooral?

De leerlingen B en D hebben dezelfde variatiebreedte. Zou je de spreiding van hun cijfers ook hetzelfde willen noemen?

Een andere maat voor de spreiding kun je vinden door te kijken hoe ver elk cijfer van het gemiddelde afligt. Je doet dit door van elk cijfer het verschil met het gemiddelde te berekenen. Hier zie je die verschillen voor leerling A.

Bereken het gemiddelde van deze verschillen. Verbaast het antwoord je? Leg uit waarom.

Het gemiddelde van deze verschillen is geen goede spreidingsmaat. Dat zit hem in de mintekens. Door te kwadrateren vallen die mintekens weg. Maak voor leerling A zelf een lijst van de kwadraten van de verschillen. Bereken daarvan het gemiddelde. Heb je nu een goede spreidingsmaat?

Door het kwadrateren wordt het getal dat je zojuist bij d hebt gevonden nogal groot. Dat los je op door de wortel uit dit getal te nemen. Je krijgt dan de standaardafwijking van deze set cijfers. Ga na dat voor leerling A die standaardafwijking ongeveer $1,73$ is.

Bereken ook voor leerling B de verschillen van de cijfers met het gemiddelde. Bereken vervolgens het gemiddelde van de kwadraten van die verschillen en de standaardafwijking.

Bereken de standaardafwijking van de cijfers van leerling D. Vind je verschillende standaardafwijkingen voor de leerlingen B en D?

verder | terug