Discrete kansmodellen > Stochasten optellenUitleg
Iemand doet aan twee kansspelen mee. Bij het eerste spel kan hij `2` , `4` , of `6` punten verdienen, bij het tweede spel `0` of `10` punten. Op grond van voorgaande resultaten heeft hij deze kansverdelingen opgesteld.
| `x_i` | `2` | `4` | `6` | `y_j` | `0` | `10` | |
| `text(P)(X=x_i)` | `0,20` | `0,30` | `0,50` | `text(P)(Y=y_j)` | `0,40` | `0,60` |
Voor de wedstrijd moeten de scores van beide spelen worden opgeteld. Daarbij past deze kansverdeling:
| `x_i+y_j` | `2` | `4` | `6` | `12` | `14` | `16` |
| `text(P)(X+Y=x_i+y_j)` | `0,08` | `0,12` | `0,20` | `0,12` | `0,18` | `0,30` |
Je kunt nu zelf nagaan dat:
`text(E)(X)=4,6`
en
`text(E)(Y)=6`
en
`text(E)(X+Y)=10,6`
. Hier geldt dus dat de verwachtingswaarde van X+Y gelijk is aan de som van de afzonderlijke
verwachtingswaarden.
Ook kun je nagaan dat:
`Var(X)=2,44`
en
`Var(Y)=24`
en
`Var(X+Y)=26,44`
. Ook de variantie van
`X+Y`
gelijk is aan de som van de afzonderlijke varianties.
Omdat
`(σ(X))^2=Var(X)`
moet gelden
`(σ(X+Y))^2=(σ(X))^2+(σ(Y))^2`
.
Ga na, dat
`σ(X+Y)=(σ(X))^2 + (σ(Y))^2`
.
Bekijk de kansverdelingen in de uitleg.
Beschrijf hoe de kansverdeling van `X+Y` tot stand is gekomen.
Welke stilzwijgende aanname is daarbij gedaan?
In de uitleg wordt het verband besproken tussen de verwachtingswaarden en de standaarddeviaties van `X` , `Y` en `X+Y` .
Bereken zelf de verwachtingswaarden van `X` , `Y` en `X+Y` en ga na dat `text(E)(X+Y)=text(E)(X)+text(E)(Y)` .
Bereken zelf de standaarddeviaties van `X` , `Y` en `X+Y` en ga na dat `sigma(X+Y)=(sigma(X))^2+(sigma(Y))^2` .
Waarom wordt deze manier van optellen van standaardafwijkingen wel "pythagorisch optellen" genoemd?