De kansverdeling van de uitbetaling per polis `U` wordt:

`text(E)(U) = 120` . De gemiddelde uitbetaling is `120` euro.

De kosten per polis zijn `120` euro plus `10` %. Dus `132` euro op een polis van `80000` euro. Dus per `1000` euro een premie van `1,65` euro.

`text(P)(X = 6) = 5/36` en `text(P)(Y = 6) = 4/36` .

`text(P)(X = 5 | n = 20 text( en ) p = 1/6) ~~ 0,1295` .

`10` even en `0` oneven: `A` verliest `30` euro.
`9` even en `1` oneven: `A` verliest `18` euro.
`8` even en `2` oneven: `A` verliest `6` euro.
In alle andere gevallen maakt `A` winst. Dus de gevraagde kans is `text(P)(X le 7 | n = 10 text( en ) p = 0,75) ~~ 0,4744` .

Er zijn `19` getallen: `3` goed en `16` fout. Prijs bij `2` of `3` goed, de kans daarop is: `3/19 * 2/18 * 16/17 * 3 + 3/19 * 2/18 * 1/17 ~~ 0,05`

`text(P)(X >= 4 | n = a text( en ) p = 0,05) < 0,01` geeft `text(P)(X le 3 | n = a text( en ) p = 0,05) > 0,99` . Met de GR: `a le 17` . Het maximale aantal spelers is `17` .

Neem aan dat er `a` pakjes van `9` euro in zitten, dan zijn er `1000 - a` pakjes van `1` euro. De totale waarde is `3000` euro. Dus: `9 * a + 1 * (1000 - a) = 3000` , geeft `a = 250` .
P(pakje van `1` euro) `= 0,75` .

Dan moet `text(P)(X = 4 | n = 20 text( en ) p = p_0) < 0,1896` zijn als `X` het aantal pakjes van `9` euro aangeeft. Hieruit volgt `p_0 = 0,25` . Kans op pakje van `1` euro is `0,75` .

De kans is `2 * 0,25 * 0,75 = 0,375` .

`text(P)(Y >= 14 | n = 20 text( en ) p = 0,75) ~~ 0,7858` .

Nu moet gelden: `text(P)(Y = 1 | n = a text( en ) p = 0,25) = 0,3560` . Met de GR vind je: `a = 6` . Je moet dus `6` pakjes uit de mand halen.

Opbrengst is `1000 * 5 = 5000` euro. De kosten zijn: `3000` euro. De winst is dus `2000` euro.

`50` pakjes kosten `250` euro. `52` % hiervan is `130` euro. Ieder pakje kost minstens `1` euro: de opbrengst is `50` euro. Dus 80 euro moet komen uit het ruilen van een `1` euro-pakje voor een `9` euro-pakje. Er moeten dus `10` pakjes van `9` euro genomen worden.
`text(P)(Y = 10 | n = 50 text( en ) p = 0,25) ~~ 0,0985` .

`3` pakjes kosten `15` euro. De waarde is minder als je er geen of één pakje van `9` euro neemt. De kans is `text(P)(Y le 1 | n = 3 text( en ) p = 0,25) ~~ 0,8438` .

P(slecht, slecht) `= 0,1 * 0,1 = 0,01` .

P(niet slecht, niet slecht) `= 0,9 * 0,9 = 0,81` .

P(niet slecht, niet slecht) `= 0,9 * 0,9 = 0,81` .
(goed, redelijk) geeft "goed" ; kans is `0,7 * 0,2 = 0,14` .
(redelijk, goed) geeft "goed" ; kans is `0,2 * 0,7 = 0,14` .
(goed, slecht) geeft "redelijk" ; kans is `0,7 * 0,1 = 0,07` .
(slecht, goed) geeft "redelijk" ; kans is `0,1 * 0,7 = 0,07` .
(redelijk, slecht) geeft "redelijk" ; kans is `0,2 * 0,1 = 0,02` .
(slecht, redelijk) geeft "redelijk" ; kans is `0,1 * 0,2 = 0,02` .
(redelijk, redelijk) geeft "redelijk" ; kans is `0,2 * 0,2 = 0,04` .
(slecht, slecht) geeft "slecht" ; kans is `0,1 * 0,1 = 0,01` .
Dus P(goed) `= 0,77` ; P(redelijk) `= 0,22` en P(slecht) `= 0,01` .

(goed, goed) geeft "goed" ; kans is `0,7 * 0,7 = 0,49` .
P(goed) `= 0,77 * 0,6 + 0,70 * 0,4 = 0,742` .
P(redelijk) `= 0,22 * 0,6 + 0,20 * 0,4 = 0,212` .
P(slecht) `= 0,01 * 0,6 + 0,10 * 0,4 = 0,046` .
De kans op "slecht" wordt meer dan gehalveerd.

`text(P)(X ≥ 40 | n = 50 text( en ) p = 0,60) ~~ 0,0022` .

`text(P)(25 ≤ X ≤ 44 | n = 50 text( en ) p = 0,60) ~~ 0,9427` .

`text(P)(X ≥ 37 | n = 50 text( en ) p = 0,60) ~~ 0,0280` .

`text(P)(X >= 30 | n = 50 text( en ) p = 0,467) ~~ 0,0406` .

`text(E)(X) = 50 * 0,467 = 23,35` dus ongeveer `23` personen met een standaarddeviatie van `sqrt(50 * 0,467 * 0,533) ~~ 3,5` .

`text(E)(10X) = 10 * 23,35 = 233,5` dus ongeveer `233` of `234` personen met een standaarddeviatie van `sqrt(10) * 3,5278 ~~ 11,2` .

`text(E)(X) = 23,35` dus ongeveer `23` personen met een standaarddeviatie van `(3,5278)/(sqrt(10)) ~~ 1,1` .

Je winstverwachting is $0\cdot \frac{1}{6}+1\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{1}{6}+2\cdot {\left(\frac{5}{6}\right)}^2\cdot \frac{1}{6}+2^2\cdot {\left(\frac{5}{6}\right)}^3\cdot \frac{1}{6}+...-10$.
Je ziet snel dat dit getal steeds groter wordt naarmate het langer duurt tot je een zes gooit. Je winstverwachting is erg positief!

Je moet twee toevalsgetallen $x$ en $y$ simuleren die samen kleiner zijn dan 10. En dan naar kansen gaan kijken.
Als $x^2+y^2={(10-x-y)}^2$ is de driehoek rechthoekig, als $x^2+y^2>{(10-x-y)}^2$ is de driehoek scherphoekig.

Echte onderzoeksopdracht.

$\text{P}\left(M_0\left(2\right)\text{en}{M}_{\left(11\right)}\left(1\right)\text{en}{M}_{\left(12\right)}\left(0\right)\right)=\mathrm{0,2093}\cdot \mathrm{0,3643}\cdot \mathrm{0,3172}\approx \mathrm{0,024}$.

$\text{P}\left(M_0\left(1\right)\text{en}{M}_1\left(2\right)\text{en}{M}_{\left(21\right)}\left(0\right)\text{en}{M}_{\left(22\right)}\left(0\right)\right)=\mathrm{0,3643}\cdot \mathrm{0,2093}\cdot \mathrm{0,3172}\cdot \mathrm{0,3172}\approx \mathrm{0,008}$.

Er mogen geen trouwende zoons zijn: P(eerste familie niet en 2de familie niet) $=\mathrm{0,3172}\cdot \mathrm{0,3172}\approx \mathrm{0,1006}$. Dus ongeveer $10$%.

$\text{P(meer dan één keer})=1–\text{P(niet, niet})–\text{P(één keer})$.
P(niet, niet) $\approx \mathrm{0,1006}$ .
P(één keer) $=\mathrm{0,3172}\cdot \mathrm{0,3643}\cdot 2\approx \mathrm{0,2311}$.
De gevraagde kans is ongeveer $1-\mathrm{0,1006}-\mathrm{0,2311}=\mathrm{0,6683}$, dus ongeveer 67%.

Stochast $X$ geeft het aantal namen dat niet terugkomt. Je moet dan berekenen: $\text{P}(X=5|n=20\text{en}p=\mathrm{0,3172})\approx \mathrm{0,1627}$. Dus ongeveer 16%.

Uit de gegeven tabel volgt: $\text{E}\left(X\right)\approx \mathrm{1,146}$.