Hypothese toetsen

Hypothese toetsen > Het begrip toets

12345Het begrip toets

Uitleg

Op een consulatiebureau blijken de laatste tijd veel meisjes te zijn geboren: `48` van de `80` laatst geboren kinderen zijn meisjes. Dat is `60` % van het totaal.
Is dit toeval of is de kans op de geboorte van een meisje inderdaad groter dan op die van een jongen?

Om te onderzoeken hoe dit zit kun je een nieuwe steekproef doen: je vraagt bijvoorbeeld een ander consultatiebureau hoeveel meisjes er bij de `100` laatstgeborenen zijn. Je vergelijkt dan twee hypothesen:

de nulhypothese `text(H)_0` : de kans op een meisje is `0,5`
de alternatieve hypothese `text(H)_1` : de kans op een meisje is `0,6`

Je moet wel vooraf afspreken vanaf welk aantal meisjes bij de `100` laatstgeborenen je welke hypothese accepteert en welke je verwerpt: bij `50` of minder meisjes accepteer je `text(H)_0` en verwerp je `text(H)_1` , bij `60` of meer accepteer je `text(H)_1` en verwerp je `text(H)_0` . Maar hoe zit het daar tussenin? Er bestaat altijd een kans dat je een hypothese ten onrechte verwerpt.
Laat `X` het aantal meisjes bij de `100` laatstgeborenen zijn. `X` is binomiaal verdeeld met `n=100` en `p=0,5` (als `text(H)_0` geldt) of `p=0,6` (als `text(H)_1` geldt).
Neem bijvoorbeeld aan dat je `text(H)_0` verwerpt bij `55` meisjes of meer, dan is de kans dat je dit ten onrechte doet: `P(X≥55|n=100 text( en ) p=0,5)≈0,1841` .

Opgave 1

In de Uitleg gaat het om de geboorte van meisjes. Neem eens aan dat de kans op de geboorte van een meisje echt `0,5` is. Je bekijkt een steekproef van `100` baby’s.

Bereken de kans dat daar dan ook precies `50` meisjes bij zijn.

Hoe groot is de kans dat er geen `50` meisjes bij zijn?

Welke van beide kansen is het grootst? Is dat in strijd met een kans van `0,5` op de geboorte van een meisje?

Opgave 2

Je zag in de voorgaande opgave dat de kans op precies `50` meisjes in een steekproef van `100` pasgeborenen nog niet zo groot is. En dat terwijl je uitging van een kans van `50` % op de geboorte van een meisje.

Maak een kansverdeling voor het aantal meisjes in een steekproef van `100` bij een geboortekans van `0,5` voor een meisje.

Je ziet dat de kans dat er `51` meisjes in de steekproef voorkomen kleiner is dan de kans dat dit er `50` zijn. Toch is die kans niet zoveel kleiner dat je in zo’n geval gaat twijfelen aan de kans van `0,5` .

Waarom ga je bij `60` meisjes waarschijnlijk wel twijfelen?

Bekijk opnieuw de kansverdeling uitgaande van een geboortekans van `0,5` voor een meisje. Bij welke aantallen meisjes in de steekproef is de kans daarop minder dan 1%?

Bij welke aantallen ga je twijfelen aan de geboortekans van `0,5` in de steekproef van `100` ?

Opgave 3

In de Uitleg is sprake van een geval waarin het aantal geboren meisjes `60` % van het totaal is. Ga uit van de steekproef van `100` pasgeborenen.

Waarom is de nulhypothese `p=0,5` als `p` de kans is dat een pasgeborene een meisjes is?

Maak uitgaande van deze nulhypothese een tabel van de kansen dat `text(H)_0` ten onrechte wordt verworpen.

Maak uitgaande van de alternatieve hypothese een tabel van de kansen dat `text(H)_1` ten onrechte wordt verworpen.

Voor welk aantal meisjes onder de pasgeborenen is de som van de kansen uit `a` en `b` het kleinst?

Bij welk aantal meisjes in de steekproef zul je toch zeggen dat de kans dat een pasgeborene een meisje is `50` % is?

verder | terug