Het is natuurlijk het mooist als je helemaal zelf een oplossing verzint. Even goed is het nuttig om te bekijken hoe het proces van het vinden van de oplossing door de volgende vragen kan worden ondersteund.

Omdat de aarde een bolvorm heeft. Zie figuur.

Zie figuur bij a. Je neemt aan dat de aarde een zuivere bolvorm heeft en dat er geen obstakels zijn.

Eigen antwoord. Zie figuur.

Deze driehoek is rechthoekig bij `R` . Want een raaklijn aan een cirkel staat loodrecht op de straal naar het raakpunt.

Van `MR` en van `MQ` . Beide lijnstukken hebben een lengte van `40000/(2pi) ~~ 6366,198` km.

Zie volgende opgaven.

`a = sqrt((6366,198+0,050)^2 - 6366,198^2) ~~ 25,231` km.

Kies daarvoor een variabele: `PQ = h` , neem `h` in km.

Je vindt: `a = sqrt((6366,198+h)^2 - 6366,198^2)` met `a` en `h` in km.
Of:
Je vindt: `a = sqrt((6366198+h)^2 - 6366198^2)` met `a` en `h` in m.

Haakjes uitwerken geeft: `a = sqrt(h^2 + 12732396h)` . Omdat `h` een getal zal zijn dat kleiner is dan zeg `200` m, is `h^2` te verwaarlozen. Dus `a ~~ sqrt(h^2 + 12732396h) ~~ 3568sqrt(h)` .

`a` is nu een deel van de omtrek van de aarde. De hoek `QMR` bepaalt de grootte ervan. Voor die hoek geldt `sin(/_QMR) = (6866198)/(sqrt(6866198^2 + h^2))` .

Je kunt nu bij een bepaalde waarde van `h` de grootte van `/_QMR = alpha` berekenen. Dan is `a = (alpha)/360 * 40000000 ~~ 111111 * alpha` m.

Eigen antwoord.

Gelukt? Zo nee, ga verder met de rest van de opgave. Zo ja, bekijk even hoe het in deze en de volgende opgaven wordt aangepakt.

De te zwemmen afstand is dan `sqrt(400^2 + 200^2) ~~ 447` m.
Er wordt gezwommen met `1,5` m/s, dus dit kost `298` seconden.

Lopen gaat veel sneller dan zwemmen.

Lopen kost `400/5 = 20` s en zwemmen `200/(1,5) ~~ 133` s. Samen is dat ongeveer `153` s.

Maak een tabel met waarden voor `AP` en de bijbehorende tijdsduur, bijvoorbeeld in Excel.

Die tijdsduur is `T(x) = x/5 + (sqrt((400-x)^2 + 200^2))/(1,5)` .

Bereken met je GR bij welke `x` de tijdsduur minimaal is.

Kies meer variabelen en maak een compleet rekenmodel in Excel waarin je de afstanden, de snelheden, allemaal kunt aanpassen.

Aannames:

• de waterlijn is recht en je kunt meteen zwemmen als je in het water komt;

• de zwemmer (punt `Z` ) is `200` m uit de kust loodrecht gerekend vanaf een punt `B` dat `400` m van je (punt `A` ) af is;

• je loopt met bijvoorbeeld `18` km/uur en zwemt met `5,4` km/uur.

Eerst de tijdsduur bij alleen zwemmen.
Daarna de tijdsduur bij de volle `400` m lopen en dan `200` m zwemmen.

In de opgave is `AP = x` gekozen, je kon bijvoorbeeld ook `PB = x` kiezen, beide in m. Verder is `T` de tijdsduur in s.
Maar je kunt ook nog meer variabelen invoeren: voor de loopsnelheid `v_L` , de zwemsnelheid `v_Z` en voor de afstanden `AB = a` , `BZ = b` .

Een formule voor `T(x)` . Maar je kunt ook `T` laten afhangen van `a` , `b` , `v_L` en `v_Z` .

Eigen antwoord.

Doen.

Aannames:

• de windkracht is een variabele die voor de hele luchtstroom langs de wieken dezelfde waarde heeft;

• voor het vermogen geldt `P = c * m * v^2` , een natuurkundige formule;

• de luchtdichtheid is een constante.

`1/4 pi D^2` is de oppervlakte van een cirkel met een straal van `r = 1/2D` .
`P = c * m * v^2 = c * 3600 * 1/4 pi D^2 * v * rho * v^2 = C * v^3 * D^2`

Modelcyclus:

• Probleemstelling: de keuze van de variabelen `D` , `v` en `P` ; de hoogte van de molen speelt geen rol.

• Modelleren: bekende natuurkundige formule gebruiken `P = c * m * v^2` en `m` is te berekenen door te berekenen hoeveel lucht per seconden door een cilinder met hoogte `v` gaat met de eerder genoemde aannames.

• Rekenen (met variabelen): de formule `P = C * v^3 * D^2` maken door formules te combineren.

• Terugkoppelen: een test verzinnen om je model te controleren.

Het vermogen meten bij bepaalde waarden van de windsnelheid en rotordiameter.

Eigen antwoord.

Eigen antwoord. Denk aan de stelling van Pythagoras.

`P/(h^2) le 320` en `4 * (P/(h^2 + (0,5a)^2 + (0,5b)^2)) ge 10` .

Eigen antwoord. Bedenk dat `2 * 1/a` het aantal palen per meter weg is.

Eigen antwoord.

Zie figuur.
Aannames zijn bijvoorbeeld dat de zeebodem vlak is en keurig met de ronding van de aarde meeloopt, dat de tunnel kaarsrecht kan zijn (in werkelijkheid moet je eerst schuin de grond in), dat begin en eindpunt in beide situaties dezelfde kunnen zijn, etc.

De omtrek van de aarde is `40000` km.
De halve lengte van de rechte kabel bereken je in een rechthoekige driehoek met een hoek van `150/40000 * 360` ° en een hypothenusa van `40000/(2pi)` km. Die halve lengte is dus `40000/(2pi) * sin(1,35^o) ~~ 149,986` km.

De rechte kabel is dus nauwelijks korter dan de kabel over de zeebodem, het scheelt ongeveer `28` m. De aanleg daarvan zal wel veel duurder zijn, dus dit is niet verstandig om te doen.
Omdat de aannames de zaak waarschijnlijk te rooskleurig voorstellen, zul je zelfs een langere kabel nodig zijn. En dat is het verschil wellicht nog kleiner. Hoewel dat niet zeker is, want ook de kabel over de zeebodem zal toch niet een mooie cirkelboog hebben...

Aannames (bijvoorbeeld):
Je gebruikt (gemiddeld) steeds hetzelfde aantal liters per `100` km. Je doet aannames betreffende de literprijs van benzine, diesel en het verbruik per `100` km. De startwaarden kunnen bijvoorbeeld zijn € 1,30 per liter voor benzine met een verbruik van `10` L per `100` km, € 0,98 per liter voor diesel met een verbruik van `8` L per `100` km. Het prijsverschil is: de dieselauto is € 1500,00 per jaar duurder (hogere wegenbelasting, hoger jaarlijkse afschrijving omdat een dieselauto duurder is). Deze aannames hangen sterk af van de actuele situatie. Bekijk bijvoorbeeld de webpagina www.esset.nl/brandstof.htm.
Variabelen zijn het aantal gereden km per jaar en de kosten per jaar.

Model (passend bij bovenstaande aannames):
`x` is het aantal gereden km per jaar en `a` zijn de vaste kosten per jaar van de benzineauto.
Benzineauto: kosten per jaar `KB = 0,1 * 1,30 * x + a` .
Dieselauto: kosten per jaar `KD = 0,08 * 0,98 * x + a + 1500` .
De kosten zijn gelijk als `0,1 * 1,30 * x + a = 0,08 * 0,98 * x + a + 1500` .

Bij het rekenmodel uit a hoort als oplossing: `x ~~ 14167` km per jaar.

Eigen antwoord.

$t=\frac{AK}{v_s}+\frac{KB}{v_z}$

$t\left(x\right)=\frac{\sqrt{x^2+{50}^2}}{6}+\frac{\sqrt{{(100-x)}^2+{20}^2}}{\mathrm{1,5}}$

Je vindt: $x\approx \mathrm{95,6}$ m.
De bijbehorende minimale tijd is ongeveer $\mathrm{31,6}$ seconden.

Met het voorgaande antwoord bereken je de afstanden $AK$ en $BK$. $AK\approx \mathrm{107,89}$ m en $BK\approx \mathrm{20,48}$ m. De totale afstand is dus ongeveer $\mathrm{128,37}$ m.

`AC = 20*0,1 = 2` m.
`BC = sqrt(5^2 - 2^2)` .
`EB = 5 - sqrt(21) ~~ 0,42` m.

`AC = 0,1t` en `BC = sqrt(5^2 - (0,1t)^2)` .
Dus voor `0 \le t \le 50` is: `d(t) = 5 - sqrt(25 - 0,01t^2)` .

Hellingsgrafiek van `d(t)` maken op de GR. Je vindt `t ~~ 22` s.

De afstand `45` meter wordt afgelegd in `45/80000` uur. Dit is `45/80000 * 3600 = 2,025` seconden. Dit is iets meer dan `2` seconden, dus de auto's voldoen hieraan.

`k = 250 * (1 - 72/88) ~~ 45,4545` , dus `q ~~ 72 * 45,4545` , dus ongeveer `3273` auto's per uur.

Uit `k = 250 * (1 - v/160)` volgt `q = v * 250 * (1 - v/160) = 250v - 1,5625v^2` .

Met je GR (of door de top van de bjbehorende dalparabool te berekenen) vind je voor de snelheid waarbij `q` maximaal is `v = 80` km/h.