Modelleren > ModellerenUitleg
Probleem: "Iemand staat op een toren en heeft een vrij uitzicht. Hoe ver kan hij (theoretisch) kijken?"
Om zo'n probleem te kunnen oplossen, maak je een bijbehorend model.
Een model is een vereenvoudiging van de werkelijkheid waarin nog alle eigenschappen
zijn terug te vinden die belangrijk zijn voor de beschrijving van een bepaald verschijnsel
dat je wilt verklaren, of het probleem dat je wilt oplossen. Het bewust opstellen
van zo'n model noem je modelleren.
Bij het modelleren volg je een aantal vaste stappen. In de opgaven maak je kennis
met die stappen.
Bekijk het probleem in de uitleg.
Kun je zelf een oplossing verzinnen?
De volgende vragen kunnen je helpen de oplossing van dit probleem te vinden. Dergelijke vragen moet je jezelf ook altijd stellen als je de oplossing van een probleem niet meteen ziet. Als eerste ontwerp je een rekenmodel.
Waarom kan hij niet oneindig ver kijken ook als er geen obstakels in de weg staan? Maak een schets om je antwoord toe te lichten.
Hoe heb je in je figuur de afstand die hij kan kijken aangegeven? Welke vereenvoudigingen heb je nu al toegepast?
Waarschijnlijk bestaat je figuur uit een (deel van een) cirkel die een doorsnede van
het aardoppervlak voorstelt met daarop een lijnstukje dat de hoogte van de ogen van
de persoon die kijkt vanaf de toren boven het aardoppervlak voorstelt. Als dat niet
zo is, maak dan alsnog een dergelijke figuur. Noem het middelpunt van de cirkel
`M`
en het lijnstuk (dat degene die kijkt voorstelt)
`PQ`
, met
`Q`
op het aardoppervlak.
Punt
`R`
is een punt op het aardoppervlak dat de persoon die kijkt nog net kan zien. Geef
zo'n punt in je figuur aan.
Waarom moet `PQ` liggen op het verlengde van `MQ` ?
Welke eigenschap heeft driehoek `MPR` ? Probeer daar een verklaring voor te vinden.
De omtrek van de aarde is `40.000` km. Van welke lijnstukken kun je nu de lengte berekenen? Bereken deze lengtes.
Probeer het probleem verder op te lossen.
Iemand doet het volgende voorstel om het probleem in de uitleg op te lossen:
Kies voor de lengte van
`PQ`
(de hoogte van de ogen van de persoon die kijkt boven het aardoppervlak) een bepaalde
waarde, bijvoorbeeld
`50`
m. Verder is de kijkafstand
`PR`
en die geef je de letter
`a`
. Vervolgens pas je de stelling van Pythagoras toe in driehoek
`MPR`
.
Je kunt daarmee a uitrekenen. Doe dat.
De ooghoogte van de persoon die kijkt boven het aardoppervlak hoeft niet `50` m te zijn.
Hoe kun je daarmee rekening houden?
Probeer nu een volledige oplossing van het probleem te beschrijven. Je kunt daarbij werken met variabelen en een formule. Maar je kunt ook werken met de computer en een rekenblad als Excel.
Vaak wordt de formule `a = 3568 * sqrt(h)` gebruikt voor de kijkafstand, met `a` en `h` in m.
Probeer die formule af te leiden uit jouw eigen formule.
Iemand anders doet een in zijn ogen beter voorstel om het probleem in de uitleg op
te lossen:
Kies voor de lengte van
`PQ`
(de hoogte van de ogen van de persoon die kijkt boven het aardoppervlak) de letter
`h`
(in m). Verder is de kijkafstand de lengte van de boog
`QR`
en die geef je de letter
`a`
. De lengte van die boog wordt bepaald door de grootte van hoek
`QMR`
. En die kun je uitrekenen in driehoek
`MPR`
.
Beschrijf nu hoe je `a` kunt berekenen.
Waarom is nu het probleem opgelost?
Welke van beide rekenmodellen voor de kijkafstand vind je het beste, dat uit deze opgave of dat uit de voorgaande opgave?