Modelleren

Modelleren > Optimalisingsproblemen

Overzicht

12345Optimalisingsproblemen

Antwoorden van de opgaven

Opgave 1

In de uitleg wordt dit probleem besproken.

Opgave 2

De lengte is `2400/30 = 80` m en de oppervlakte wordt `(30 + 20 + 10)(80 + 10 + 10) = 6000` m².

De breedte is dan `2400/80 = 30` m en de oppervlakte wordt `(30 + 10 + 10)(80 + 20 + 10) = 50 * 110 = 5500` m². En dat is kleiner.

De andere afmeting is dan `2400/x` m en de oppervlakte wordt `A(x) = (x + 20 + 10)(2400/x + 10 + 10) = (x + 30)(2400/x + 20)` m².

Met de GR zoek je het minimum van `A(x) = (x + 30)(2400/x + 20)` .
Je vindt een minimum van `5400` m² bij `x = 40` m.

Opgave 3

Dan is de voorkant van de fabriekshal `x - 20` en de breedte ervan dus `2400/(x - 20)` .
De oppervlakte van het terrein is dan `A(x) = x(2400/(x - 20) + 30)` .

Met de GR zoek je het minimum van `A(x) = x(2400/(x - 20) + 30)` .
Je vindt een minimum van `5400` m² bij `x = 60` m.

Opgave 4

Het blik is zuiver cilindervormig en het materiaal is overal even dik zodat de hoeveelheid materiaal alleen wordt bepaald door de oppervlakte ervan.

De onder- en de bovenkant van het blik zijn cirkels met straal `r` en de mantel is een rechthoek met een hoogte van `h` cm en een breedte die gelijk is aan de omtrek van de grondcirkel.

Met $I = 1000$ vind je $1000 = π r^{2} h$ en dus: $h = \frac{1000}{π r^{2}}$ .
Als je nu in de formule voor $A$ deze uitdrukking invult voor $h$ , dan vind je: $A (r) = \frac{2000}{r} + 2 π r^{2}$ .

Eigen antwoord.

Opgave 5

Neem aan dat het pakje een zuiver balk is met afmetingen `x` , `x` en `h` , alle drie in cm.
Uit `I = x^2 h =200` en `A = 2x^2 + 4xh` volgt `A = 2x^2 + 800/x` .
Met de GR vind je dat `A` minimaal is als `x ~~ 5,8` cm.

Opgave 6

Bijvoorbeeld `W(x) = (90 - 4x)(1000 + 100x) - 60(1000 + 100x) = text(-)400x^2 - 1000x + 30000` , met `W` in centen.

De winst is maximaal als `x = text(-)1,25` . En dat betekent dat hij de prijs eigenlijk met `5` cent zou moeten verhogen om maximale winst te krijgen. Dus nee, beter niet.

Eigen antwoord.

Opgave 7

$(600 - 5 \cdot 0,01 \cdot 600) \cdot (10 + 5 \cdot 0,25) = 6412,50$

$T O (p) = (600 - 6 p) (10 + 0,25 p) = 6000 + 90 p - 1,5 p^{2}$

$T O$ is maximaal als $p = 30$ .

Opgave 8

Stel dat de zijde van het ingeknipte vierkantje $x$ wordt genoemd. Dan is $I = x {(20 - 2 x)}^{2}$

Max. $I (\frac{10}{3}) = \frac{16000}{27}$ .

Opgave 9

Sportveld: lengte $l$ m en breedte $2 r$ m waarin $r$ de straal van de twee halve cirkel is.
Nu geldt: $2 l + 2 π r = 400$ , dus $l = 200 - π r$ .
De oppervlakte van het sportveld is: $A = l \cdot 2 r = (200 - π r) \cdot 2 r = 400 r - 2 π r^{2}$ .
Maximum zit bij $r = \frac{100}{π}$ . (Kan met GR, maar ook m.b.v. de top van de bergparabool die de grafiek van `A` is.)
Het sportveld heeft een lengte van $100$ m en een breedte van $\frac{200}{π}$ m.

Opgave 10

Gegeven vergelijking herschrijven.
$0 \leq q \leq 12$

$T O = p q = 120 q - 10 q^{2}$

$T W = T O - T K = - 1, 5 q^{3} + 12, 5 q^{2}$

$T W$ is maximaal bij $q = \frac{50}{9}$ en dan is $p \approx 64, 44$ euro.

$G T K = T \frac{K}{q} = 1, 5 q^{2} - 22, 5 q + 120$ en die functie heeft een maximum bij een afzet van $7500$ stuks.

Opgave 11

Los op: `sqrt(x^2 + 1600) = sqrt(x^2 - 160x + 10000)` . Dit geeft `x = 52,5` .

Nu moet `L(x) = sqrt(x^2 + 1600) + sqrt(x^2 - 160x + 10000)` minimaal zijn. Dit levert op `x = 32` m.
En dan is `L ~~ 128` m.

naar: havo B examen in 2011, eerste tijdvak

Opgave 12

Zie figuur.

Neem voor het grondvlak van de rechthoekige ruimte een vierkant met zijde $x$ . Met behulp van gelijkvormigheid kun je dan afleiden dat de hoogte ervan gelijk is aan $h = 6 - \frac{1}{2} x$ . De inhoud ervan is dan $I = x^{2} (6 - \frac{1}{2} x) = 6 x^{2} - \frac{1}{2} x^{3}$ .
Met behulp van je GR vind je een maximale inhoud als $x = 8$ en dus $h = 2$ . De bedoelde afmetingen zijn dus $6 \times 6 \times 2$ m.

Opgave 13Camping

Camping

Neem een kampeerplaats $x$ bij $x$ meter. Voor iedere plaats is dan nodig $x^{2} + 20$ m². Omdat je over $1$ ha beschikt, kun je $\frac{10000}{(x^{2} + 20)}$ plaatsen aanleggen. De prijs per overnachting wordt $2, 50 x + 4, 50$ .
De totale opbrengst per nacht wordt $T O (x) = \frac{10000}{x^{2} + 20} \cdot (2,50 x + 4,50) = \frac{25000 x + 450000}{x^{2} + 20}$ .
$T O$ maximaliseren geeft $x \approx 3,02$ (andere mogelijkheid vervalt).
een kampeerplaats wordt ongeveer $3$ m breed.

Opgave 14

Doen.

Neem aan dat de breedte van zo’n poster wordt voorgesteld door $x$ dm. Leid een formule af voor de oppervlakte $A$ van het bedrukte deel als functie van $x$ .

$A (x) = (x - 2) (\frac{100}{x} - 3)$

`A(x)` maximaliseren geeft $x \approx 8,2$ dm.

De poster moet ongeveer $8,2$ bij $12,2$ dm worden.

Opgave 15

Noem de diepte $d$ en de hoogte $h$ , beide in dm.
Vanwege de inhoud van $1$ m³ = 1000 dm³, geldt: $1000 = 6 \cdot d \cdot h$ en dus $h = \frac{1000}{6 d}$ .

Voor de totale oppervlakte $A$ in m² geldt: $A = 6 d + 12 h + 2 d h$ .
Als je nu de eerder gevonden uitdrukking invult in de oppervlakteformule, vind je $A = 6 d + \frac{2000}{d} + \frac{1000}{3}$ .

Van deze functie van $d$ moet je het minimum bepalen. Dat doe je met behulp van de grafische rekenmachine. Ga na dat je vindt: $d \approx 18,26$ . De bijbehorende waarde voor de hoogte kun je dan ook wel berekenen.

verder | terug