Modelleren

Opgave 8

Van een vierkant stuk karton wordt een bakje gemaakt door in de hoeken vierkantjes in te knippen en de randen om te vouwen. Die vierkantjes dienen dan als plakrandjes.

a

Welke formule kun je dan opstellen voor de inhoud $I$ van dit bakje?

b

Bereken de maximale inhoud van dit bakje.

Opgave 9

Om een rechthoekig sportveld ligt een sintelbaan, bestaande uit twee rechte stukken en twee halve cirkels. De totale lengte van de sintelbaan is $400$ m. De afmetingen van het veld zijn zo gekozen dat de oppervlakte van het sportveld maximaal is.

Bereken exact de afmetingen van dit sportveld.

Opgave 10

Een fabriek produceert opvouwbare autopeds voor volwassenen als vervoermiddel in grotere bedrijfshallen. Het bedrijf heeft als enige producent een monopoliepositie. Daarom hangt hun afzet $q$ (in duizendtallen) uitsluitend af van de prijs $p$ in euro: $q = 12 - 0, 1 p$ . De kosten voor de productie van deze autopeds zijn gegeven door een door de bedrijfswiskundige opgesteld model: $T K = 1, 5 q^{3} - 22, 5 q^{2} + 120 q$ . Hierin is $T K$ gegeven in duizendtallen euro.

a

Toon aan dat geldt: $p = 120 - 10 q$ . Welke waarden kan $q$ aannemen?

b

Stel een formule op voor de opbrengst $T O$ als functie van $q$ .

c

Stel een formule op voor de winst $T W$ als functie van de afzet $q$ .

d

Bepaal de prijs van één autoped bij maximale winst.

e

Geef een formule voor de gemiddelde totale kosten $G T K$ als functie van $q$ . Bepaal bij welke afzet $G T K$ minimaal is.

Opgave 11

Langs een rechte weg staan twee flatgebouwen. De ingang van flat 1 (punt `E` ) ligt `40` meter van de weg af en de ingang van flat 2 (punt `D` ) ligt `60` meter van de weg af. Men wil een bushalte plaatsen (punt `B` ) en daarna van de bushalte naar de ingang van elk van de twee flats een recht voetpad aanleggen. Punt `A` is het punt aan de weg dat het dichtst bij de ingang van flat 1 ligt en punt `C` is het punt aan de weg dat het dichtst bij de ingang van flat 2 ligt. De afstand tussen punt `A` en punt `C` is `80` meter. In de figuur is van deze situatie een schematisch bovenaanzicht getekend. Hierin is `x` de afstand tussen punt `A` en de bushalte `B` in meter.
Het is mogelijk de bushalte zo te plaatsen dat de twee voetpaden even lang zijn.

a

Bereken de exacte waarde van `x` in deze situatie.

Men wil bij nader inzien de bushalte zo plaatsen dat de totale lengte van de twee voetpaden minimaal is.

b

Bereken die totale lengte `L` in meter nauwkeurig.

naar: havo B examen in 2011, eerste tijdvak

Opgave 12

Onder een piramidevormig dak wil je een rechthoekige ruimte bouwen met een zo groot mogelijke inhoud. In de figuur zie je hoe dit er uit komt te zien. Het grondvlak van de ruimte is een vierkant.
Welke afmetingen krijgt deze ruimte?

Opgave 13Camping

Camping

De eigenaar van een camping wil het aantal plaatsen uitbreiden. Hij koopt een hectare grond en wil daarop zuiver vierkante kampeerplaatsen inrichten. Hij heeft echter een deel van de grond nodig voor wegen, toilet- en wasgelegenheid, en dergelijke. Per kampeerplaats schat hij daarvoor zo’n $20$ m2 te moeten reserveren. Verder gaat hij ervan uit dat het bedrag dat hij per plaats kan rekenen afhangt van de grootte ervan. In ieder geval rekent hij per nacht een prijs van € 4,50, maar daar bovenop denkt hij nog zo’n € 2,50 per meter breedte te kunnen vragen.
Voor plaatsen van $4$ m breedte zal hij dan € 14,50 per nacht kunnen rekenen, maar er kunnen er dan wel minder op zijn nieuwe terrein. De vraag voor deze campingeigenaar is daarom: "Hoe breed moet ik mijn kampeerplaatsen maken om zoveel mogelijk te verdienen aan deze extra hectare grond?"

Los dat probleem voor hem op. Schrijf een volledige uitwerking op waarbij je van differentiëren gebruik maakt.

Verwerken