Modelleren

Opgave 8

Je hebt op 1 januari 2015 een saldo van € 1240,00.
En je besluit dat geld op een spaarrekening te zetten. Verder ga je aan het begin van elke maand $50$ euro naar die spaarrekening overmaken, te beginnen op 1 februari 2015. Je krijgt aan het eind van elke maand $0,5$ % rente over het saldo van dat moment. Je haalt voorlopig geen geld van deze spaarrekening en je doet ook geen andere stortingen.

a

Bereken het saldo op 1 april 2015.

b

Leg uit dat het saldo `K` van je bankrekening `t` maanden na 1 januari 2015 kan worden berekend door `K(t + 1)=K(t)*1,005+50` met `K(0) = 1240` .

c

Maak hierbij een Excel-werkblad en bereken daarmee het saldo op 1 januari 2018 als je zo blijft doorgaan.

Opgave 9

Staatsbosbeheer heeft op een bepaald perceel waarop ongeveer $6000$ bomen van een bepaalde soort kunnen staan. Dit perceel is bedoeld als productiebos: na een aantal jaren zijn de eerste bomen groot genoeg om te kunnen worden gekapt. Om een stabiele jaarlijkse opbrengst te hebben wordt er jaarlijks maar $18$ % van de bomen gekapt en worden er $1000$ aangeplant. Het eerste jaar zijn er $5000$ bomen geplant.

Stel een dynamisch model op voor het aantal bomen op dit perceel en maak een tabel van het verloop ervan.

Opgave 10

Als je melk uit de koelkast haalt en in een glas schenkt loopt de temperatuur op vanaf $T (0) = 6$ °C (de temperatuur binnen de koelkast) naar de kamertemperatuur van $20$ °C. De toename van de temperatuur per minuut is recht evenredig met het temperatuursverschil met de omgeving.

a

Leg uit, dat hieruit deze recursieformule is af te leiden: $T (t + 1) = T (t) + c \cdot (20 - T (t))$ waarin $t$ het aantal minuten voorstelt.

Neem aan dat $c = 0,1$ .

b

Maak een grafiek van deze rij en bepaal na hoeveel minuten de temperatuur van de melk minder dan $1$ °C verschilt van de kamertemperatuur.

c

Laat zien hoe de grenswaarde uit de gegeven recursieformule is af te leiden.

Opgave 11

In 2000 leefden er in een natuurgebied $5000$ konijnen. Hun aantal is in de jaren daarna telkens met $5$ % toegenomen.

a

Ontwerp een dynamisch groeimodel voor het aantal konijnen `K` waarin $t$ het aantal jaren na 2000 is.

b

Maak een tabel van de groei van het aantal konijnen in de loop van de tijd. Van wat voor soort groei is er sprake?

Deze groei van het aantal konijnen kan niet onbeperkt doorgaan. In dit natuurgebied is slechts plaats voor een beperkt aantal konijnen. Een onderzoeker heeft een aangepast groeimodel opgesteld. Daarin is `K(t + 1) = c*K(t)(8000 - K(t))` , waarin `K(0) = 5000` . Dit model blijkt in 2001 precies hetzelfde geschatte aantal konijnen op te leveren als het model dat je bij a hebt ontworpen en ook in de daarop volgende jaren redelijk bij dat model te passen.

c

Welke waarde moet `c` dan hebben?

d

Maak voor dit aangepaste groeimodel een tabel van het aantal konijnen in de loop van de tijd. Tot welke waarde kan in dit model het aantal konijnen doorgroeien?

Opgave 12

In het begin van het internettijdperk was er een tijdje een concurrentiestrijd tussen twee populaire internetbrowsera, noem ze bijvoorbeeld "Discoverer" en "Landscape" . De gebruikers van deze internetbrowsers zagen jaarlijks reikhalzend uit naar de nieuwste versie van de Discoverer of van Landscape. Maar sommige gebruikers wisselen ook nogal eens van browser. In deze graaf zie je de wisselingen voor een bepaald jaar in beeld gebracht. In dat jaar werd onderzocht wat er zou gebeuren als deze vervangingen en wisselingen elk jaar zo zouden doorgaan.

a

Stel bij deze situatie een rekenmodel op. Noem het aantal gebruikers van de Discoverer $D (t)$ en dat van Landscape $L (t)$ en neem `Delta t = 1` jaar.

b

Maak de grafieken van de $D (t)$ en $L (t)$ voor $t = 0, 1, 2, 3, ..., 10$ . Ga er van uit dat $D (0) = 0,5$ en $L (0) = 0,5$ .

c

Bepaal hoeveel procent van de gebruikers uiteindelijk de Discoverer zal gebruiken als dit rekenmodel geldig zou zijn gebleven.

Opgave 13

Leonardo van Pisa (ongeveer 1180 - 1250) geeft in zijn boek "Liber Abaci" uit 1202 het volgende raadsel weer:
"In een afgesloten gebied zet ik één paar konijnen. Dit paar werpt elke maand één paar jongen. Al die jongen krijgen op hun beurt ook weer jonge konijntjes, maar pas vanaf hun tweede levensmaand en dan ook weer elke maand één paar jongen. Hoeveel paren konijnen zijn er nu na één jaar?"

a

Stel een dynamisch rekenmodel op voor het aantal konijnen $A$ na $n$ maanden.

b

Onderzoek hoe de toename van deze konijnen gaat verlopen.

c

Beantwoord de vraag die Leonardo van Pisa in zijn raadsel stelt.

Verwerken