Modelleren > Dynamische modellenVoorbeeld 1
In een zwembad is op zeker moment de chloorconcentratie
`1`
liter/m3. Dat is te hoog en dus wordt het water ververst. Elke minuut wordt
`1`
m3 badwater vervangen door
`1`
m3 schoon water. Er zit in totaal
`1000`
m3 water in het bad.
Na hoeveel uur is de chloorconcentratie gehalveerd?
Noem de chloorconcentratie
`C(t)`
waarin
`t`
de tijd in uren is.
Ga er van uit dat telkens het schone water zich onmiddellijk met al het badwater vermengd,
zodat
`C(t)`
in het hele zwembad steeds hetzelfde is op een bepaald tijdstip, waar je ook meet.
Elk uur wordt de chloorconcentratie met
`Delta C(t) = 0,060*C(t)`
verminderd.
Dus geldt de modelvergelijking: `C(t+1) = C(t) - 0,060*C(t) = 0,940*C(t)` .
De chloorconcentratie op
`t=0`
(als het verversen van het water begint) is
`C(0)`
.
Je vindt dan:
`C(1)=0,940*C(0)`
,
`C(2)=0,940*C(1)=0,940^2*C(0)`
,
`C(3)=0,940*C(2)=0,940^3*C(0)`
, enzovoorts.
Door steeds maar door te blijven rekenen bepaal je na hoeveel minuten
`C`
is gehalveerd.
De halveringstijd wordt ongeveer
`11,2`
uur. Zie Modelzwembad.xls.
In het voorbeeld wordt beschreven hoe het water van een groot zwembad wordt ververst omdat de chloorconcentratie te hoog is. Hier dient een discreet dynamisch model als benadering van het voortdurende verversingsproces (uitstromen van vuil water en instromen van schoon water).
Waarom is dit eigenlijk geen discreet model?
Stel je kijkt om het uur naar het verversingsproces. Leg uit waarom er het eerste uur `60` liter chloor verdwijnt. En verklaar waarom er het tweede uur `56,4` liter chloor verdwijnt.
Leg uit waarom `Delta C(t)=text(-)0,060*C(t)` .
Maak handmatig een tabel voor de afname van de chloorconcentratie voor de eerste vier uur.
Gebruik het Excel-bestand uit het voorbeeld. Na hoeveel uur is de chloorconcentratie gehalveerd?
Je kunt op het werkblad de chloorconcentratie aanpassen. Wat gebeurt er als die concentratie `2` keer zo groot wordt?
Bekijk opnieuw het verversen van water in een zwembad uit het voorbeeld. Neem nu als stapgrootte `Delta t = 1` minuut.
Hoeveel chloor verdwijnt er de eerste minuut? En de tweede minuut?
Hoe ziet je modelvergelijking er in deze situatie uit?
Maak een nieuwe tabel voor de afname van de chloorconcentratie voor de eerste `5` minuten.
Na hoeveel tijd is de chloorconcentratie gehalveerd?