Modelleren

Opgave 1Kalkoen braden

Kalkoen braden

Een kalkoen braden is lastig, omdat het enige tijd duurt voordat ook het binnenste van de kalkoen op temperatuur komt. Hoe lang dat duurt hangt af van het gewicht. Het is de kunst om de kalkoen zo lang te braden dat het binnenste net gaar is. Je kunt dat niet controleren zonder de kalkoen aan te snijden. De optimale braadtijd is daarom moeilijk vast te stellen. Gelukkig geven kookboeken vaak aanwijzingen voor de braadtijd, die afhankelijk is van het gewicht van de kalkoen. Onderzoekers hebben vastgesteld dat met de volgende formule het beste resultaat wordt verkregen:
$t = 11 g^{\frac{2}{3}}$
Hierin is $g$ het gewicht van de kalkoen in kilogram en $t$ de tijd in minuten die nodig is om het binnenste van de kalkoen op een temperatuur van $85$ °C te brengen.

a

Bereken hoe lang het bij een kalkoen van $3$ kg duurt voor het binnenste op een temperatuur van $85$ °C is. Verwacht je dat een kalkoen van $6$ kg daarvoor twee keer zoveel tijd nodig heeft?

Als het binnenste van de kalkoen een temperatuur heeft van $85$ °C duurt het nog een tijd voordat de kalkoen gaar is. Ga ervan uit dat die tijd $80$ minuten is en dat die tijd afhangt van het gewicht van de kalkoen.

b

Geef de formule voor de totale braadtijd $T$ van een kalkoen afhankelijk van het gewicht. Is de totale braadtijd recht evenredig met een macht van het gewicht?

c

Verklaar waarom het minder moeilijk is om kooktijden vast te stellen dan braadtijden. Is de kooktijd van bijvoorbeeld aardappels ook afhankelijk van het gewicht? En de totale tijd dat aardappels op het fornuis moeten staan?

Opgave 2Posters

Posters

Op rechthoekige vellen papier van $1$ m² worden foto’s afgedrukt om posters te maken. Om de foto blijft een rand wit: aan de onderkant een strook van $2$ dm breedte, aan de andere drie randen stroken van $1$ dm breedte.
Bij welke afmetingen van de poster wordt de oppervlakte van het bedrukte deel zo groot mogelijk?

a

Maak een schets van de situatie met de gegevens er in.

b

Probeer eerst zelf het probleem op te lossen. Kijk pas als dat niet lukt naar c en d.

c

Neem aan dat de breedte van zo’n poster wordt voorgesteld door $x$ dm. Leid een formule af voor de oppervlakte $A$ van het bedrukte deel als functie van $x$ .

d

Bereken met behulp van differentiëren de waarde van $x$ waarvoor $A (x)$ maximaal is.

e

Beantwoord tenslotte de aan het begin gestelde vraag.

Opgave 3Camping

Camping

De eigenaar van een camping wil het aantal plaatsen uitbreiden. Hij koopt een hectare grond en wil daarop zuiver vierkante kampeerplaatsen inrichten. Hij heeft echter een deel van de grond nodig voor wegen, toilet- en wasgelegenheid, en dergelijke. Per kampeerplaats schat hij daarvoor zo’n $20$ m2 te moeten reserveren. Verder gaat hij ervan uit dat het bedrag dat hij per plaats kan rekenen afhangt van de grootte ervan. In ieder geval rekent hij per nacht een prijs van € 4,50, maar daar bovenop denkt hij nog zo’n € 2,50 per meter breedte te kunnen vragen.
Voor plaatsen van $4$ m breedte zal hij dan € 14,50 per nacht kunnen rekenen, maar er kunnen er dan wel minder op zijn nieuwe terrein. De vraag voor deze campingeigenaar is daarom: "Hoe breed moet ik mijn kampeerplaatsen maken om zoveel mogelijk te verdienen aan deze extra hectare grond?"

Los dat probleem voor hem op. Schrijf een volledige uitwerking op.

Opgave 4Kogelbaan

Kogelbaan

De kogelbaan is een model voor de baan die een in vacuum (om luchtweerstand te kunnen verwaarlozen) onder een bepaalde hoek en met een bepaalde snelheid afgeschoten massapunt aflegt.
Noem de beginsnelheid $v_{0}$ en de hoek waaronder het massapunt wordt afgeschoten $α$ .

De snelheid in de $x$ -richting is $v_{0} cos (α)$ .
De snelheid in de $y$ -richting is $v_{0} sin (α)$ , maar daar telt ook de zwaartekracht nog mee.
Dus is:

$x = v_{0} cos (α) \cdot t$ en $y = v_{0} sin (α) \cdot t - \frac{1}{2} g t^{2}$ .

Hierin is `g` de gravitatieconstante: $g \approx 9,81$ m/s².
Hiermee maak je een model in Excel: Model kogelbaan.
Laat zien dat bij de baan de formule $y = \frac{sin (α)}{cos (α)} \cdot x - \frac{g}{2 v_{0} {cos}^{2} (α)} \cdot x^{2}$ hoort.
Kun je de gunstigste afschiethoek $α$ bepalen als je de kogel zo ver mogelijk van het afschietpunt weer op de grond wilt laten komen?

Zie ook deze simulatie van de kogelbaan.

a

Leid zelf de vergelijking van de baan van deze parabool af.

b

Druk het punt waar de kogel weer op de grond komt uit in $v_{0}$ , $α$ en $g$ .

c

Bij welk waarde voor $α$ komt de kogel zo ver mogelijk? Druk de hoogte die de kogel dan haalt uit in $v_{0}$ en $g$ .

Opgave 5Snoepdoosje

Snoepdoosje

Een kartonnen snoepdoosje heeft de vorm van een regelmatige achthoek. Hiernaast zie je een uitslag van de onderkant ervan, de dikte van het karton wordt verwaarloosd. Deze uitslag moet precies passen op een vierkant van `18,0` bij `18,0` cm. Het doosje heeft een volkomen vlakke deksel, dus als je deze uitslag in elkaar vouwt krijg je een figuur die de volledige inhoud van het doosje bepaalt. `x` stelt de zijde van de achthoek voor, `h` is de hoogte van het doosje, beide worden in cm uitgedrukt.

a

Leid een formule af voor de inhoud van dit doosje.

b

Bereken de maximale inhoud van dit doosje. Geef je antwoord in gehele cm³ nauwkeurig.

Opgave 6Ureum-gehalte

Ureum-gehalte

De kwaliteit van het water in zwembaden wordt onder andere beoordeeld op grond van het ureumgehalte. Ureum komt in het water via zweet en urine. Metingen hebben aangetoond dat bij $1000$ bezoekers per dag de hoeveelheid ureum in het water op die dag met $500$ g toeneemt. Om te voorkomen dat er te veel ureum in het water komt, moet er zo ververst worden dat de wettelijke norm van $2$ g ureum per m³ water niet overschreden wordt. In een model gaan we er van uit dat dagelijks $1000$ bezoekers een bad van $1000$ m³ bezoeken en dat de verversing van het water ’s nachts plaatsvindt. Voor verversing rekent men $30$ liter per persoon per dag. Dat betekent in dit model dat ’s nachts $30$ m³ ververst wordt (dus $3$ % van het totaal). We beginnen de eerste dag met $0$ g ureum in het water. Aan het eind van de dag zit er $500$ g ureum in het water. Na het verversen is er dan aan het begin van de tweede dag $485$ g ureum over.

a

Laat door berekening zien dat er aan het begin van de derde dag ruim $955$ g ureum in het water zit.

b

In de loop van welke dag wordt de wettelijke norm overschreden? Licht je antwoord toe.

Het blijkt dat $30$ liter per bezoeker per dag verversen niet voldoende is. In plaats van $30$ liter wordt daarom $200$ liter genomen.

c

Toon aan dat voor de hoeveelheid ureum (notatie $U_{n}$ ) aan het begin van de $n$ de dag dag geldt $U_{n} = 0,8 \cdot U_{n - 1} + 400$ .

Stel je voor dat het water $0$ g ureum aan het begin van de eerste dag bevat.

d

Laat zien dat aan het begin van elke dag aan de wettelijke norm wordt voldaan.

e

In de loop van de dag kan de wettelijke norm wel worden overschreden. Bereken op welke dag dat voor het eerst gebeurt.

(naar: examen wiskunde A havo van voor 1990)

Testen