Lineaire verbanden

Lineaire verbanden > Lineaire modellen

12345Lineaire modellen

Antwoorden van de opgaven

Opgave 1

Leuke puzzel om even je tanden op stuk te bijten. In de volgende opgave krijg je wat hulpvragen als je er niet zelf uitkomt.

Opgave 2

$x + y = 22$

$y + 4 = 2 (x + 4)$

De formule uit a: $y = - x + 22$ .
De formule uit b: $y = 2 x + 4$ .
Maak nu tabellen en de twee grafieken in één assenstelsel.

In het snijpunt van de grafieken wordt aan beide formules voldaan. Dus dat punt moet je bepalen. Voor dit punt geldt $- x + 22 = 2 x + 4$ en dus $3 x = 18$ , zodat $x = 6$ .
In 2006 is Bob 6 jaar en Jeroen 16 jaar oud.

Eigen antwoord.

Opgave 3

Doen; ga na dat je hetzelfde antwoord krijgt als in de uitleg.

Eerst herleiden tot $y = - x + 12$ en $y = x + 13$ .
Dan $- x + 12 = x + 13$ oplossen. Dit geeft $2 x = -1$ en dus $x = -0,5$ .
Het snijpunt is $(-0,5; 12,5)$ .

Eerst herleiden is niet nodig.
$6 x - 1 = 3 x + 3$ oplossen geeft $3 x = 4$ en dus $x = \frac{4}{3}$ .
Het snijpunt is $(\frac{4}{3}, 7)$ .

Eerst herleiden is niet nodig.
$2 x = 3$ oplossen geeft $x = 1,5$ .
Het snijpunt is $(1,5, 7)$ .

$-0,4 x + 2 = 0$ oplossen geeft $x = 8$ .
Het snijpunt is $(8, 0)$ .

Opgave 4

Eigen antwoord. Ook als het je niet lukt kun je de rest van de opgave maken.

$x + y = 50$ en $x + 51 y = 1000$ .

$- x + 50 = - \frac{1}{51} x + \frac{1000}{51}$ oplossen geeft $- 51 x + 2550 = - x + 1000$ en dus $x = 31$ .
Hij koopt 31 kippen en 19 geiten.

Het aantal geiten is dan $50 - x$ .
Het totale bedrag levert vervolgens deze vergelijking op $x + 51 (50 - x) = 1000$ . Als je die oplost vind je hetzelfde antwoord.

Opgave 5

Doen.

De lineaire formule bij lijn $l$ is $y = -0,5 x + 5$ . De formule bij lijn $k$ kun je herleiden tot $y = 0,4 x - 2$ .
Het snijpunt vind je uit $-0,5 x + 5 = 0,4 x - 2$ .
Het snijpunt wordt $(\frac{70}{9}, \frac{10}{9})$ .

$l : y = 0,5 x$ en $m : y = - x + 4$ .
Voor het snijpunt is $0,5 x = - x + 4$ .
Je vindt $(\frac{8}{3}, \frac{4}{3})$ .

Opgave 6

Voor kaars I geldt: $L = 35 - 1,875 t$ .
Voor kaars II geldt: $L = 42 - 2,75 t$ .
Het gaat nu om de nulpunten van de grafieken bij deze formules.
Voor kaars I levert $35 - 1,875 t = 0$ op: $t = 18 \frac{2}{3}$ .
Voor kaars II levert $42 - 2,75 t = 0$ op: $t = 15 \frac{3}{11}$ .
Reken na dat het tijdsverschil ongeveer 3 uur en 24 minuten is.

Opgave 7

De vaste kosten bedragen $3000 + 500 = 3500$ euro.
De kosten per gereden km bedragen $1,80 / 12 = 0,15$ euro.

De vaste kosten bedragen $4000 + 750 = 4750$ euro.
De kosten per gereden km bedragen $1,20 / 20 = 0,06$ euro.

$3500 + 0,15 a = 4750 + 0,06 a$ oplossen geeft $a \approx 13889$ km. En dus ben je inderdaad vanaf ongeveer 13900 km voordeliger uit met een dieselauto.

Opgave 8

$T K = 350000 + 6,50 q$

$T O = 11,50 q$

Je vindt $(70000, 805000)$ . Dit is het punt waarop het bedrijf uit de kosten gaat komen, vandaar de naam. Als er meer dan $70000$ van die lampen worden verkocht, maken ze winst.

Opgave 9

$v + k = 300$ en $3 v + 2 k = 787$ .

$k = - v + 300$ en $k = -1,5 v + 393,5$ .

$- v + 300 = -1,5 v + 393,5$ oplossen geeft $v = 187$ . Het gevraagde snijpunt is $(187, 113)$ .

187 kaartjes voor volwassenen en 131 kinderkaartjes.

Opgave 10

Doen. De grafiek van $y_{1}$ gaat door $(0, 0)$ (en dit is ook gelijk het nulpunt) en $(4, 1)$ . De grafiek van $y_{2}$ gaat door $(0, 5)$ en $(-2,5; 0)$ (en dit is ook gelijk het nulpunt).

$\frac{1}{4} x = 2 x + 5$ geeft $x = - \frac{20}{9}$ . Het snijpunt is $(- \frac{20}{9}; \frac{35}{9})$ .

Opgave 11

$y_{1} = -0,25 x + 1,25$ en $y_{2} = - \frac{5}{3} x + 5$ .

$-0,25 x + 1,25 = - \frac{5}{3} x + 5$ geeft $-3 x + 15 = -20 x + 60$ en dus $x = \frac{45}{17}$ . Het snijpunt is $(\frac{45}{17}, \frac{10}{17})$ .

Opgave 12

$T K = 310000 + 82 x$

$T O = 124,5 x$

$310000 + 82 x = 124,5 x$ levert op $x \approx 7294,1$ . Er moeten dus minstens 7295 keukenmachines worden verkocht.

Opgave 13

Noem $G$ het totale gewicht van de vrachtauto met $x$ m³ zand. Dan is de bijbehorende formule $G = 1,5 x + 4,75$ . (Formule bij een lijn door twee punten.)
De vrachtauto weegt leeg dus $4,75$ ton.

Opgave 14

$x + y = 500$ en $2 x + 3 y = 1180$ .

320 pakken spritsen en 180 pakken gevulden koeken.

Opgave 15

$t$ is de tijd in uren en $a$ de afstand tot Amsterdam in km. $t = 0$ is om 11:00 uur.
Straalvliegtuig: $a = 1850 - 800 t$ .
Propellorvliegtuig: $a = 300 (t - 1,25)$ .
$1850 - 800 t = 300 (t - 1,25)$ geeft $t = 2 \frac{1}{44}$ . En dat is om ongeveer 13:01 uur.

Opgave 16Ontbrekend roosterhokje

Ontbrekend roosterhokje

Doen.

De twee grootste "rechthoekige driehoeken" in figuur II zijn helemaal geen driehoeken, maar vierhoeken. Er zit een knikje in wat ogenschijnlijk de schuine zijde is. Dat kun je laten zien met behulp van hellingsgetallen. Kijk in figuur II maar eens naar de grote "rechthoekige driehoek" linksonder. Tot het hoekpunt van de rechthoek is de helling van de "schuine zijde" $\frac{3}{8} = 0,375$ , daarna $\frac{2}{5} = 0,4$ .

Opgave 17Door één punt?

Door één punt?

Stel eerst van elke lijn een vergelijking op. Neem de twee eenvoudigste vergelijkingen om het snijpunt van die twee lijnen te berekenen. Controleer dat dit snijpunt ook op de derde lijn ligt. Ze gaan alle drie door $(110, 66)$ .

verder | terug