Vergelijk je antwoord met dat van Opgave V1.

Kies zelf een paar waarden voor $a$ en $b$ en bereken de symmetrieas met deze formule. Ga met de applet na dat je antwoord correct is.

Los op $2x^2+3x+4=4$.
Je vindt $x=0\vee x=\text{-}\mathrm{1,5}$. De symmetrieas is daarom $x=\text{-}\mathrm{0,75}$.
De top van de parabool is dus $T(\text{-}\mathrm{0,75};\mathrm{2,875})$.

Op $0$ herleiden en $x$ buiten haakjes halen geeft $x=0\vee x=\text{-}\mathrm{}\frac{b}{a}$.
Het gemiddelde van beide is $x=\text{-}\mathrm{}\frac{b}{2a}$.

$x_{\text{top}}=\text{-}\mathrm{}\frac{\text{-}}{5}=\frac{5}{6}$ en dus is de top $\left(\frac{5}{6},\text{-}\mathrm{}\frac{1}{12}\right)$.

$x_{\text{top}}=\text{-}\mathrm{}\frac{6}{2\cdot \text{-}1}=3$ en dus is de top $\left(3,21\right)$.

Nu is het niet handig om de formule $x_{\text{top}}=\text{-}\mathrm{}\frac{b}{2a}$ te gebruiken, want daarvoor moet je de haakjes uitwerken. En uit deze formule kun je direct de nulpunten aflezen en zo de symmetrieas bepalen: $x=3$. De top is $\left(3,\text{-}12\right)$.

Werk in de discriminant de haakjes uit en je krijgt een (lineaire) vergelijking met variabele $p$. En daarin kun je $p$ berekenen.

Met de gevonden waarde voor $p$ krijg je $2x^2+x+\mathrm{0,25}=0$ en daarmee vind je $x=\text{-}\mathrm{0,25}$.
Het raakpunt is dus $(\text{-}\mathrm{0,25};\mathrm{3,375})$.

Als $p<\mathrm{3,875}$.

Je moet nu oplossen $2x^2+3x+4=\text{-}3x+p$ en dit wordt $2x^2+6x+4-p=0$.
Eén oplossing betekent $D=6^2-4\cdot 2\cdot \left(4-p\right)=0$. Hieruit vind je $p=\text{-}\mathrm{0,5}$.

Het raakpunt wordt $(\text{-}\mathrm{1,5};4)$.

`text(-)x^2+6x=text(-)2x+p` geeft `x^2-8x+p=0` .

`D = 64 - 4p=0` geeft `p=16` .

Met de gevonden waarde voor $p$ krijg je `text(-)x^2+6x=text(-)2x+16` en daarmee vind je $x=4$.
Het raakpunt is dus $(4,8)$.

De symmetrieas is $x=\text{-}\mathrm{}\frac{b}{2a}=\text{-}\mathrm{}\frac{3}{2\cdot \text{-}2}=\mathrm{0,75}$ en dat is meteen ook de $x$-waarde van de top. Die vul je dan nog in de formule van de parabool in.

Doen.

Eerst de vergelijking op $0$ herleiden: $\text{-}2x^2+x+4-n=0$.
En dan is $D=1^2-4\cdot \text{-}2\cdot (4-n)=33-8n$.

$D=33-8n=0$ geeft $n=\frac{33}{8}=\mathrm{4,125}$. Dus het is de lijn $y=2x+\mathrm{4,125}$.

Met de gevonden waarde van $n$ krijg je $\text{-}2x^2+x-\mathrm{0,125}=0$. En deze vergelijking heeft (natuurlijk) maar één oplossing, namelijk $x=\mathrm{0,25}$. Het raakpunt wordt dus $(\mathrm{0,25};\mathrm{4,625})$.

$x_{\text{top}}=\text{-}\mathrm{}\frac{b}{2a}=\text{-}\mathrm{}\frac{3}{2\cdot \text{-}1}=\mathrm{1,5}$ en de top van de parabool is daarom $T(\mathrm{1,5};\mathrm{2,25})$.
Invullen in de lijn geeft $n=\mathrm{4,5}$.

$\text{-}\mathrm{}{x}^2+3x=\text{-}\mathrm{1,5}x+n$ geeft $\text{-}\mathrm{}{x}^2+\mathrm{4,5}x-n=0$.
Raken, dus $D={\mathrm{4,5}}^2-4\cdot \text{-}1\cdot \text{-}\mathrm{}n=\mathrm{20,25}-4n=0$ en dat geeft $n=\mathrm{5,0625}$.

Voor het raakpunt moet je nu nog oplossen: $\text{-}\mathrm{}{x}^2+\mathrm{4,5}x-\mathrm{5,0625}=0$. Deze vergelijking heeft als oplossing $x=\mathrm{2,25}$. Het raakpunt wordt $(\mathrm{2,25};\mathrm{1,6875})$.

De top van de parabool is $T(2,1)$.
Voor de lijn die daar doorheen gaat is $1=2m+3$, dus $m=\text{-}1$.

Doen.

$x^2-4x+5=mx+3$ geeft $x^2+(\text{-}4-m)x+2=0$.
Raken, dus $D={(\text{-}4-m)}^2-4\cdot 1\cdot 2=0$ en dat geeft ${(4+m)}^2=8$ en dus $m=\text{-}4\pm \sqrt{8}$.

De vergelijking wordt $2x^2-4x+2=0$.
En dan is $D={\left(\text{-}4\right)}^2-4\cdot 2\cdot 2=0$.

$2x^2-4x+2=0$ geeft $x=1$.
Door invullen in één van beide formules vind je het raakpunt $(1,3)$.

$\text{-}\mathrm{}{x}^2+4x-3=\text{-}2x+\mathrm{5,5}$ wordt `x^2-6x+8,5=0` .
Van deze vergelijking is de discriminant positief, dus er zijn twee snijpunten.

$2x^2-3x+4=\mathrm{0,5}{x}^2-\mathrm{2,25}$ wordt $\mathrm{1,5}{x}^2-3x+\mathrm{6,25}=0$.
Van deze vergelijking is de discriminant negatief, dus er zijn geen snijpunten.

$2x^2-x+3=x^2-3x+2$ wordt $x^2+2x+1=0$.
Van deze vergelijking is de discriminant nul, dus beide parabolen raken elkaar.

$x_{\text{top}}=\text{-}\mathrm{}\frac{\text{-}}{4}=2$, dus de top is $(2,\text{-}4)$.

Los op: $x^2-4x=x-4$.
Oplossing: $x=1\vee x=4$.
De snijpunten zijn $(1,\text{-}3)$ en $(4,0)$

$x^2-4x=x+p$ geeft $x^2-5x-p=0$.
Raken, dus $D=0$, geeft $D=25+4p=0$ en dus $p=\text{-}\mathrm{6,25}$.
Het gaat dus om de functie $y=x-\mathrm{6,25}$.

Het raakpunt volgt uit $x^2-5x+\mathrm{6,25}=0$ en dit geeft $x=\mathrm{2,5}$. Het raakpunt is $(\mathrm{2,5};\text{-}\mathrm{3,75})$.

Noem het snijpunt van $AP$ en de middelloodlijn $Q$. De driehoeken $APQ$ en $FPQ$ zijn altijd congruent (ze hebben allemaal gelijke zijden).

Doen.

Je kunt een rechthoekige driehoek $SPF$ maken met $P$ en $F$ als hoekpunten en rechthoekszijden evenwijdig aan de assen. Daarin is $SP=x$ en $SF=\pm (3-y)$. In die driehoek doe je de stelling van Pythagoras.

Er geldt $x^2+{(3-y)}^2={(y+3)}^2$. Haakjes wegwerken en even wat herleiden en je hebt zo de gewenste vorm.

$y=\frac{1}{12}{x}^2$

Nu krijg je `x^2 + (5-y)^2 = (y+3)^2` .
En na herleiden $x^2=16y-16$.

$y=\frac{1}{16}{x}^2+1$

Snijpunten: `(2, 0)` en `(text(-)1, 3)` .

`p = text(-)0,25`