Kwadratische verbanden

Kwadratische verbanden > Lijnen en parabolen

123456Lijnen en parabolen

Voorbeeld 1

Gegeven de parabool met formule $y = - 2 x^{2} + 3 x + 4$ en de serie lijnen met formule $y = 2 x + n$ .

Welke van deze serie lijnen gaat door de top van de parabool? En welke van deze serie lijnen raakt de parabool?

> antwoord

Bereken eerst de top van de parabool met $x_{top} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{3}{2 \cdot - 2} = 0,75$ .
De top van de parabool is daarom $T (0,75; 5,125)$ .

De lijn $y = 2 x + n$ gaat door $T$ als $5,125 = 2 \cdot 0,75 + n$ en dat geeft $n = 3,625$ .
De lijn $y = 2 x + 3,625$ gaat door de top van de parabool.

Om te berekenen welke van deze serie lijnen de parabool raakt, bekijk je de vergelijking $- 2 x^{2} + 3 x + 4 = 2 x + n$ . Dit is een kwadratische vergelijking die maar één oplossing moet hebben, omdat er bij raken sprake is van slechts één gemeenschappelijk punt.
En daarbij werk je met de discriminant $T$ van deze kwadratische vergelijking. Uit $D = 0$ vind je de gewenste waarde van $n$ en kun je de vraag beantwoorden. Doe dat zelf.

Opgave 5

Bekijk de parabool en de serie lijnen in Voorbeeld 1.

Welke symmetrieas heeft de gegeven parabool? Hoe wordt die symmetrieas gebruikt om de top van de parabool uit te rekenen?

Reken na, dat de lijn met $n = 3,625$ door de top van de parabool gaat.

In het voorbeeld wordt ook berekend welke van de serie lijnen de parabool raakt. Daarbij wordt de discriminant van een kwadratische vergelijking gebruikt.

Bepaal zelf die discriminant, dus druk hem uit in $n$ .

Bereken de vergelijking van de lijn uit deze serie die de parabool raakt.

Bereken de coördinaten van het bijbehorende raakpunt.

Opgave 6

Gegeven zijn de kwadratische functie door $y = - x^{2} + 3 x$ en de serie lineaire functies door $y = - 1,5 x + n$ .

In de applet in Voorbeeld 1 kun je de bijbehorende grafieken instellen.

Bereken voor welke $n$ de lijn door de top $T$ van de parabool gaat.

Bereken voor welke $n$ de lijn de parabool raakt en bereken de coördinaten van het raakpunt.

Opgave 7

Gegeven de parabool met formule $y = x^{2} - 4 x + 5$ en de serie lijnen met formule $y = m x + 3$ .

In de applet in Voorbeeld 1 kun je deze grafieken instellen.

Bereken voor welke $m$ de lijn door de top $T$ van de parabool gaat.

Ga met de applet na, dat er nu twee lijnen van deze serie zijn die de parabool raken.

Bereken voor welke $m$ de lijn de parabool raakt.

Opgave 8

In de Theorie wordt verteld wat een "raaklijn" aan een parabool is. Bij elke parabool kun je echter één lijn tekenen die precies één punt met de parabool gemeen heeft en toch geen raaklijn aan de parabool is.

Beschrijf welke lijn dat is.

verder | terug