${(x-3)}^2-1=ax+2$ geeft $x^2+(-6-a)x+6=0$ en daarvan moet $D={(6+a)}^2-4\cdot 1\cdot 6=0$ zodat ${(6+a)}^2=24$ en $a=-6\pm \sqrt{24}$.

Je krijgt dus de raaklijnen $y=(-6+\sqrt{24})x+2$ en $y=(-6-\sqrt{24})x+2$.

Nee, voor punten op de parabool is er steeds precies één raaklijn. Voor punten binnen de parabool geldt dat je geen raaklijn aan de parabool kunt maken.

Daarvan is er precies één.

${(x-3)}^2-1=-2x+b$ geeft $x^2-4x+8-b=0$ en daarvan moet $D=16-4(8-b)=0$ zodat $b=4$.

Je krijgt dus de raaklijn $y=-2x+4$.

Alle functies van deze vorm hebben als grafiek een dalparabool.
Nu is $q=2$ en dan is de top $T(3,2)$.

Voor $q=0$.

Als ${\text{f}}_q(0)=2$, dus als ${(0-3)}^2+q=0$ ofwel $q=-9$.

$T(\mathrm{1,5};\mathrm{2,25})$

Je vindt waarschijnlijk al snel $p=4$. De andere waarde voor $p$ is moeilijker te vinden. De top van de parabool valt dan buiten de figuur.

De bijbehorende $y$-waarde is ${\text{f}}_p(\frac{1}{2}p)=\mathrm{-}{(\frac{1}{2}p)}^2+p\cdot \frac{1}{2}p=\frac{1}{4}{p}^2$.

$\frac{1}{4}{p}^2=6-\frac{1}{2}p$ geeft $p^2+2p-24=0$ en dus $p=4\vee p=-6$.

Je vindt $p\approx \mathrm{3,9}\vee p\approx \mathrm{-5,9}$.

$\mathrm{-}{x}^2+px=6-x$ geeft $\mathrm{-}{x}^2+(p+1)x-6=0$.

Raken, dus $D={(p+1)}^2-4\cdot -1\cdot -6=0$. Dit geeft $p=-1\pm \sqrt{24}$ en dus $p\approx \mathrm{3,90}\vee p\approx \mathrm{-5,90}$.

Als je $t=0$ invult, vind je $T=80$°C.

Het water gaat afkoelen, dus $T$ moet kleiner worden. De grafiek moet langzaam dalen naar $T=20$°C.

$20+60\cdot g^{10}=40$ geeft $g^{10}=20/60=\frac{1}{3}$ en dus $g=\sqrt[10]{\frac{1}{3}}\approx \mathrm{0,90}$.

Twee. Werk met de applet.

Wellicht kun je het antwoord op deze vraag wel met de applet vinden. Je moet het echter ook zelf kunnen berekenen.

${\text{f}}_p(x)=x^2-px+2p=0$ moet twee oplossingen voor $x$ hebben. Dat betekent $D=p^2-8p>0$. Nu geldt $D=p^2-8p=0$ als $p=0\vee p=8$. Omdat de discriminant zelf een dalparabool is, is $D>0$ als $p<0\vee p>8$.

De top is $(\frac{1}{2}p,\mathrm{-}\frac{1}{4}{p}^2+2p)$.

Dit vul je in de formule van de lijn in: $\mathrm{-}\frac{1}{4}{p}^2+2p=\frac{1}{2}p$. Dit levert op $p=0\vee p=6$.

Nu moet $\mathrm{-}\frac{1}{4}{p}^2+2p=-4$. Dit levert op $p=4\pm 4\sqrt{2}$.

Bij deze lijnen horen functies van de vorm $y(x)=ax+6$.
Nu moet de vergelijking $4-x^2=ax+6$ precies één oplossing voor $x$ hebben. Dus moet van $x^2+ax+2=0$ gelden $D=a^2-8=0$. Dit betekent dat $a=\pm \sqrt{8}$.

De twee gevraagde lijnen zijn dus $y=\sqrt{8}\cdot x+6$ en $y=\mathrm{-}\sqrt{8}\cdot x+6$.

Bij deze lijnen horen functies van de vorm $y(x)=2x+b$.
Nu moet de vergelijking $4-x^2=2x+b$ precies één oplossing voor $x$ hebben. Dus moet van $x^2+2x+b-2=0$ gelden $D=4-4(b-4)=0$. Dit betekent dat $b=5$.

De gevraagde lijn is dus $y=2x+5$.

Er zijn drie nulpunten als $x^3-px=0$ drie verschillende waarden voor $x$ oplevert. Ontbinden geeft $x(x^2-p)=0$ en dus $x=0\vee x=\pm \sqrt{p}$.

Er zijn drie verschillende oplossingen zodra $p>0$.

$x^3-px=x$ geeft $x=0\vee x^2=1+p$.

Er is altijd de oplossing $x=0$, dus al deze functies hebben het punt $(0,0)$ met de lijn $y=x$ gemeen.
Er zijn geen andere oplossingen als $1+p\le 0$, dus als $p\le -1$.

$T(0)=20-a\cdot g^0=6$ geeft $a=14$.

$T(10)=20-14\cdot g^{10}=18$ geeft $g=\sqrt[10]{\frac{1}{7}}\approx \mathrm{0,82}$.

En dan is $T(25)\approx 20-14\cdot {\mathrm{0,82}}^{25}\approx \mathrm{19,9}$°C.

$s(t)=10\cdot t+\frac{1}{2}\cdot 2\cdot t^2=10t+t^2$

$s(5)=75$ m.

Nu geldt $s(t)=10t+\frac{1}{2}a{t}^2$.
Omdat $s(8)=80+32a=200$ is $a=120/32=\mathrm{3,75}$ m/s².

Nu geldt $s(4)=4v(0)+8a=80$ en $s(10)=10v(0)+50a=260$.

Dit is een stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden. Je hebt geleerd hoe je dat moet oplossen. Je vindt $a=2$ m/s² en $v(0)=16$ m/s.

Nu is $110$ km/uur gelijk aan $110/\mathrm{3,6}=30\frac{5}{9}$ m/s.
Omdat de beginsnelheid $0$ is, geldt $a\cdot 17=30\frac{5}{9}$ en dus $a\approx \mathrm{1,80}$ m/s².
De afgelegde afstand is dan $s(17)\approx \frac{1}{2}\cdot 1.80\cdot {17}^2\approx 260$ m.

De cheetah houdt de jacht ongeveer $17+450/30\frac{5}{9}\approx \mathrm{31,7}$ seconden vol. Hij legt daarin ongeveer $260+450=710$ m af. De zebra legt in die tijd $440$ m af en had al $300$ m voorsprong; de zebra wordt dus net niet ingehaald.