Omdat (volgens de definitie) de middelloodlijn door het midden $P$ van $AB$ gaat en er loodrecht op staat, is $\text{∆}APM\cong \text{∆}BPM$ ($AP=PB$, $\angle APM=\angle BPM$ en $PM=PM$). En dus is $AM=MB$.

Omdat $AM=MB=BM=MC$.

Neem aan dat je van punt $M$ alleen weet dat $AM=MC$. Teken nu een lijn door $M$ en loodrecht op $AC$. Het punt waar die lijn $AC$ snijdt is $R$. Dan weet je dat $\text{∆}ARM\cong \text{∆}CRM$ ($\angle ARM=\angle CRM=90°$, $AM=MC$ en $RM=RM$). En dus is $AR=RC$ en is $R$ het midden van $AC$. De lijn die je vanuit $M$ loodrecht op $AC$ hebt getekend gaat dus ook door het midden van $AC$. Het is dus de middelloodlijn van $AC$.

Doen.

Ja.

Doen, die lijnstukken zijn inderdaad even lang. Maar bij het meten kan dit wel eens niet precies kloppen.

$\text{∆}APD\cong \text{∆}ARD$ ($\angle APD=\angle ARD=90°$, $AA=AD$ en $\angle PAD=\angle RAD$). En dus is $DP=DR$.

Doen.

Doen.

Ja.

Als je de driehoek van karton zou maken en uitknippen dan kon je hem in evenwicht laten steunen op dit zwaartepunt. Dat komt omdat elke zwaartelijn de driehoek verdeeld in twee stukken met dezelfde oppervlakte (dus hetzelfde gewicht). (Snap je waarom dat zo is?)

Zoek gelijkvormige driehoeken (trek de hulplijn $QR$) en bedenk dan een waterdichte redenering. Zie Voorbeeld 1 voor een bewijs.

Opnieuw zijn de driehoeken $ASC$ en $BSC$ congruent (ZZZ). En daaruit volgt dat $\angle ACS=\angle BCS$ en dus dat $CS$ deellijn van $\angle C$ is.

Nu mag je uitgaan van $\angle ACS=\angle BCS$. Verder is $AB=AC$ ($\text{∆}ABC$ is gelijkbenig) en $CS=CS$. Daaruit volgt dat de driehoeken $ASC$ en $BSC$ congruent zijn (ZHZ).

En dus is $AS=SB$ en $\angle ASC=\angle BSC=90°$. En daarmee is deellijn $CS$ ook middelloodlijn van $AB$.

Omdat $AM=BM=CM$ de straal van een cirkel zijn.

De driehoeken $AMC$ en $BMC$ zijn gelijkbenig. Dit betekent dat $\angle A=\angle ACM$ en $\angle B=\angle BCM$.

Noem de zwaartelijn $CS$, het snijpunt met $AB$ is dus punt $S$.

Een zwaartelijn gaat vanuit punt $C$ naar het midden van zijde $AB$. Dus is $AS=SB$. De driehoek was gelijkbenig en dus geldt ook $AB=AC$. Omdat ook $CS=CS$ zijn de driehoeken $ASC$ en $BSC$ congruent (ZZZ).

En daarom is $\angle A=\angle B$.

$\angle A+\angle ACM+\angle BCM+\angle B=180°$ en $\angle A=\angle ACM$ en $\angle B=\angle BCM$.
Dus is $\angle ACM+\angle ACM+\angle BCM+\angle BCM=180°$ zodat $\angle ACM+\angle BCM=90°$.

Nee, $C$ mag niet samenvallen met $A$ of $B$ want dan heb je geen driehoek.

Omdat ze $\angle C$ gemeenschappelijk hebben en $CF=\frac{1}{2}\cdot CA$ en $CE=\frac{1}{2}\cdot CB$.

De vergrotingsfactor van $\text{∆}ABC$ naar $\text{∆}FEC$ bedraagt $\frac{1}{2}$. Dus is $EF=\frac{1}{2}\cdot AB$.
Verder volgt uit de gelijkvormigheid bij a dat $\angle BAC=\angle EFC$, dus $EF//AB$.

Omdat $EF//AB$ is $\angle BAZ=\angle FEZ$, $\angle ABZ=\angle EFZ$ (Z-hoeken). En verder is $\angle AZB=\angle EZF$ (X-hoeken). Beide driehoeken hebben dus gelijke overeenkomstige hoeken.

Die volgt uit $EF=\frac{1}{2}\cdot AB$, zie b.

Doen, maak alle hoeken en alle zijden verschillend.

In $\text{∆}ABC$ is $PQ=\frac{1}{2}\cdot AC$ en dat $PQ//AC$, zoiets heb je in de vorige opgave aangetoond.

In $\text{∆}ABD$ is $RS=\frac{1}{2}\cdot AC$ en dat $RS//AC$.

En dus is $PQ=RS=\frac{1}{2}\cdot AC$ en dat $PQ//RS$.

Een parallellogram.

$360°$

Je kunt elke vijfhoek opdelen in drie driehoeken door vanuit één geschikt gekozen hoekpunt de twee diagonalen te trekken. De som van de hoeken is daarom $540°$.

Je kunt elke $n$-hoek opdelen in $n-2$ driehoeken door vanuit één geschikt gekozen hoekpunt de diagonalen te trekken. De som van de hoeken is daarom $(n-2)\cdot 180°$.