Je kunt dit op twee manieren doen:
Elke vijfhoek kun je verdelen in drie driehoeken, dus de hoekensom ervan is . Elke hoek is daarom .
Elke vijfhoek kun je verdelen in vijf congruente gelijkbenige driehoeken met de top in het middelpunt van de cirkel door de hoekpunten van de vijfhoek. De tophoek van zo'n driehoek is , dus de basishoeken zijn elk . Elke hoek van de vijfhoek bestaat uit twee van die basishoeken en is daarom .
De constructie van de vijfhoek kun je ook op twee manieren doen:
Begin met een zijde en zet daarop hoeken van af. Pas op de benen van die hoeken dezelfde lengte af als je eerste zijde was en ga zo door.
Teken vanuit één hoekpunt vijf gelijke hoeken van . Maak vanuit dat hoekpunt een cirkel. De punten waar de benen van de hoeken de cirkel
snijden kun je verbinden tot een regelmatige vijfhoek.
Probleem van deze methode is dat je niet weet hoe groot je die cirkel moet maken als
de lengtes van de zijden van de vijfhoek zijn gegeven. (Je leert later nog hoe je
de straal van die cirkel kunt berekenen vanuit de lengtes van de zijden.)
Bekijk in de
Ja, ook die kun je in vijf driehoeken verdelen.
Nee, dat hoeft niet. Je kunt heel goed een zevenhoek met alle zijden gelijk aan cm tekenen, zonder dat alle hoeken gelijk zijn.
Dit kun je op dezelfde manier doen als in de
Teken twee (of meer) middelloodlijnen van de zijden en bepaal hun snijpunt. Dit is het middelpunt van de omgeschreven cirkel.
Je kunt de regelmatige zeshoek verdelen in zes gelijkbenige driehoeken met hun tophoek in . Die tophoeken zijn dan allemaal . En dus zijn ook de basishoeken van de zes gelijkbenige driehoeken allemaal . Omdat alle hoeken gelijk zijn, zijn de zijden dat ook, dus het zijn gelijkzijdige driehoeken. Dus de straal van de omgeschreven cirkel is gelijk aan de lengte van een zijde.
Deze ingeschreven cirkel heeft ook middelpunt en gaat door de middens van de zijden van de zeshoek. Neem aan dat het midden van is, dan is de straal van de ingeschreven cirkel. Omdat cm en cm, is (gebruik de stelling van Pythagoras) cm.
Zo'n vierhoek heet een ruit. Je kunt hem nog niet tekenen, daarvoor moet je iets van de hoeken weten.
Ja, begin maar eens met . Die ligt vast, want je weet en de twee benen van die hoek zijn cm. Daarmee ligt ook vast. En (omdat van de lengtes van alle zijden vast liggen) dus ligt ook vast.
Nee, een regelmatige vierhoek is een vierkant. Alleen dan zijn alle zijden en alle hoeken gelijk.
Nee, van zo'n cirkel zou het middelpunt het midden van moeten zijn. En de punten en liggen daar niet even ver vandaan.
Stelling van Pythagoras: .
Dit geeft , zodat en .
Het middelpunt van deze cirkel is het snijpunt van de middelloodlijnen. is het midden van , dus de straal van deze cirkel is cm.
Je kunt dit doen met behulp van gelijkvormigheid van (bijvoorbeeld) de driehoeken
en .
Maar je kunt ook gebruik maken van het feit dat driehoek een halve gelijkzijdige driehoek is (de hoeken zijn ook , en ). Omdat cm is en .
Teken eerst de cirkel. Verdeel de cirkel in acht gelijke sectoren met een sectorhoek van .
De hoekensom van de achthoek is , dus elke hoek is .
vanwege de stelling van Thales. Verder kun je met behulp van de stelling van Pythagoras uitrekenen dat en cm.
Driehoek is gelijkbenig, dus . Daarom is en dus is ook driehoek gelijkbenig. En dus is .
en geeft . Dus cm.
Doen.
Construeer het middelpunt van de omgeschreven cirkel. Bepaal het geschikte snijpunt met de cirkel waar punt op ligt.
De kortste lengte van ontstaat als punt op lijnstuk ligt. (Dan is er sprake van een driehoek, net niet meer van een vierhoek.)
Nu kun je de lengte van uitrekenen met behulp van de stelling van Pythagoras: .
En dus moet .
Begin met , cm en cm. Teken vervolgens een lijn door en evenwijdig aan en cirkel vanuit punt het lijnstuk cm om. Het linker punt waar deze cirkel de lijn door en evenwijdig aan snijdt, is punt . (Het rechter punt zou ook kunnen, maar dan is de vierhoek ook een parallellogram en dan is niet voldaan aan .)
Teken lijnstuk . Dan is driehoek gelijkzijdig met zijden van cm. En dus is cm.
Omdat een parallellogram is, is cm.
De hoogte is bijvoorbeeld lijnstuk dat loodrecht staat op . Omdat driehoek gelijkzijdig is, is het midden van . Dus cm.
Met behulp van de stelling van Pythagoras vind je cm.
De oppervlakte van het trapezium is cm2.
De lengte van bereken je met behulp van de stelling van Pythagoras: . Dus .
Nu zijn de driehoeken en gelijkvormig, want ze hebben drie gelijke hoeken (Z-hoeken en X-hoeken).
De vergrotingsfactor van driehoek naar driehoek is . Neem , dan is en dus .
In de rechthoekige driehoek is , en .
Vervolgens doe je de stelling van Pythagoras.
Los de vergelijking op door de haakjes uit te werken. Er zijn twee oplossingen, maar is te klein.
De driehoek waarvan de middelpunten van de cirkels de hoekpunten zijn is een gelijkzijdige driehoek met zijden van . De hoogte daarvan is (stelling van Pythagoras) en de oppervlakte dus .
Van elke cirkel is de oppervlakte en daarvan ligt deel binnen de driehoek.
De gevraagde oppervlakte is .
Noem het middelpunt van de cirkel . Maak een schets en neem . Dat is de straal van de cirkel.
Je kunt dan met behulp van de stelling van Pythagoras afleiden dat . Hieruit vind je .
Dit kan op twee manieren:
Een twaalfhoek heeft een hoekensom van , dus een regelmatige twaalfhoek heeft hoeken van .
Je tekent eerst een zijde van de juiste lengte en zet daar aan weerszijden een hoek
van op. De benen van die hoeken worden cm en daarop zet je weer hoeken van , etc.
Alle hoekpunten van de twaalfhoek liggen op een cirkel met middelpunt en hij bestaat uit gelijkbenige driehoeken met in een tophoek van en basishoeken van . Je tekent één zo'n gelijkbenige driehoek (je weet alle hoeken en één zijde) en daarna
teken je vanuit de cirkel waar alle hoekpunten op liggen.
Je kunt dan de andere hoekpunten tekenen, door steeds de zijden van cm af te passen.
Teken in deze driehoek de drie deellijnen/hoogtelijnen/zwaartelijnen/middelloodlijnen. (Dat zijn drie lijnstukken, want in een gelijkzijdige driehoek is de deellijn van een hoek hetzelfde als de hoogtelijn vanuit dat hoekpunt en de zwaartelijn vanuit dat hoekpunt en de middelloodlijn van de overstaande zijde.) Omdat de zwaartelijnen elkaar verdelen in een verhouding van en het snijpunt van deze lijnen het middelpunt van de ingeschreven cirkel is, is de straal ervan deel van de lengte van elke deellijn/hoogtelijn/zwaartelijn/middelloodlijn. Die lengte kun je berekenen met de stelling van Pythagoras, bijvoorbeeld . De straal van de ingeschreven cirkel is dus cm.
Van een gelijkzijdige driehoek zijn alle hoeken . Verder is .
Omdat de driehoeken en gelijkbenig zijn, is . En dus is .
Nee, de hoeken kunnen nog variëren.
Doen, begin met driehoek , daarvan weet je twee zijden en hun ingesloten hoek. Vervolgens kun je de zijden en met de passer omcirkelen.
is het snijpunt van beide diagonalen. De diagonalen staan (vanwege de symmetrie)
loodrecht op elkaar.
En driehoek is gelijkzijdig, dus cm. Hieruit volgt met behulp van de stelling van Pythagoras: en .
.
Uit (een hoek gemeenschappelijk en de zijden op de benen hebben dezelfde vergrotingsfactor)
volgt dat .
Uit volgt dat .
Uit volgt dat .
Uit volgt dat .
Dus is een parallellogram. Maar ook is en dus heeft rechte hoeken.
Uit de gelijkvormigheden volgt ook dat en .
De diagonalen van het vierkant hebben een lengte van cm. De diameter van de kleine cirkel is daarom cm. De straal is dus cm.
Noem het middelpunt van de grote cirkel en dat van de kleinere cirkel .
Nu is .
Te berekenen (het vraagteken) is dan .
Met de stelling van Pythagoras vind je:
En dit levert op: en dus .
De zijden van het vierkant zijn .
Bekijk de figuur, de gekozen letters en de gekozen rechthoekige driehoeken. Ga na,
dat en .
Hieruit volgt:
en
.
Hieruit volgt en dus .
De oppervlakte van de kleine witte cirkel is dus: .