$12$ hoekpunten, $18$ ribben en $8$ grensvlakken.

In elk van de opstaande zijvlakken zijn $2$ zijvlaksdiagonalen. In het ondervlak zitten $6$ diagonalen. In totaal dus $2\cdot 6+6\cdot 2=24$ zijvlaksdiagonalen.

Een lichaamsdiagonaal loopt vanuit een hoekpunt van $ABCDEF$ naar een hoekpunt van $GHIJKL$. Uit elk hoekpunt van $ABCDEF$ kun je er $4$ trekken, maar dan krijg je ze allemaal dubbel. Er zijn dus $\frac{6\cdot 4}{2}=12$ lichaamsdiagonalen.

Teken een cirkel met straal $4$ en pas daarop zes punten af die $4$ cm van elkaar af liggen. Je krijgt dan de regelmatige zeshoek $ABCDEF$.

Zo'n regelmatige zeshoek bestaat uit zes gelijkzijdige driehoeken met zijden van $4$ cm. Elke gelijkzijdige driehoek kun je verdelen in twee congruente driehoeken met zijden van $4$, $2$ en $2\sqrt{3}$ cm. Daaruit volgen de lengtes van de lichaamsdiagonalen.

Dit diagonaalvlak is een rechthoek van $8$ cm bij $6$ cm.

Omdat $tan(\angle EBK)=\frac{6}{8}=\mathrm{0,75}$ is $\angle EBK\approx 37°$.

Dit diagonaalvlak is een rechthoek van $4\sqrt{3}$ cm bij $6$ cm.

Omdat $tan(\angle FBL)=\frac{6}{4\sqrt{3}}$ is $\angle FBL\approx 23°$.

Omdat elke verbinding tussen twee hoekpunten in een grensvlak ligt.

$3\cdot 2=6$

Doen. Je kunt de lengte van $AM$ en $BM$ opmeten in een vierkant van $6$ cm bij $6$ cm, of deze lengte berekenen. Je vindt $AM=BM=\sqrt{6^2+3^2}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$.

Maak in $∆ABM$ een rechte hoek door hoogte $MN$ te tekenen. Dan is $sin(\angle NMB)=\frac{3}{3\sqrt{5}}$ en dus $\angle NMB\approx \mathrm{26,6}°$.

En dus is $\angle AMB\approx 53°$.

Alleen $6$ zijvlaksdiagonalen in het grondvlak. En daarbij horen ook $6$ diagonaalvlakken.

Maak in $∆BTE$ een rechte hoek door hoogte $TS$ te tekenen. Dan is $sin(\angle BTS)=\frac{6}{24}=\mathrm{0,25}$ en dus $\angle BTS\approx \mathrm{14,5}°$.

En dus is $\angle BTE\approx 29°$.

Maak in $∆BTF$ een rechte hoek door hoogte $TP$ te tekenen. Dan is $sin(\angle BTP)=\frac{3\sqrt{3}}{24}$ en dus $\angle BTP\approx \mathrm{12,5}°$.

En dus is $\angle BTF\approx 25°$.

$ABCD$ is een rechthoek van $8$ bij $6$ cm. Dus is driehoek $ABC$ een rechthoekige driehoek waarin je de stelling van Pythagoras kunt doen: $AC=\sqrt{8^2+6^2}=10$.

Teken eventueel rechthoek $ACGE$.

$AG=\sqrt{{10}^2+5^2}=\sqrt{125}$ en $CN=\sqrt{5^2+5^2}=\sqrt{50}$ cm.

$∆ACN\sim ∆GMN$ omdat $\angle ANC=\angle GNM$ (overstaande hoeken) en $\angle CAN=\angle MGN$ (Z-hoeken). Dus hebben beide driehoeken gelijke hoeken en zijn ze gelijkvormig.

Omdat $AC:GM=2:1$ en $∆ACN\sim ∆GMN$ zijn de zijden van $∆ACN$ $2$ keer zo groot dat die van $∆GMN$. En dus is $CN=\frac{2}{3}CM=\frac{2}{3}\sqrt{50}\approx \mathrm{4,71}$.

Werk bijvoorbeeld in diagonaalvlak $ACGE$, een rechthoek met zijden van $AC=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$ en $CG=4$ cm.

Daarin is lichaamsdiagonaal $AG=\sqrt{{(4\sqrt{2})}^2+4^2}=4\sqrt{3}$. Alle andere lichaamsdiagonalen zijn even lang.

Teken eventueel diagonaalvlak $ABGH$, een rechthoek met zijden van $AB=4$ en $BG=4\sqrt{2}$ cm.

Hierin vind je de rechthoekige driehoek $AHM$ met rechthoekszijden $HM=2$ en $AH=4\sqrt{2}$ cm.
Dus is $AM=\sqrt{2^2+{(4\sqrt{2})}^2}=\sqrt{36}=6$ cm.

Ja, een piramide met als grondvlak een driehoek. Dat noem je wel een viervlak. Zoek maar eens op internet hoe een viervlak er uit ziet als je je dit niet goed kunt voorstellen.

$16$ hoekpunten, $24$ ribben en $10$ grensvlakken.

Ja, ga maar na bij b.

Bol, kegel en cilinder.

De piramide is regelmatig, dus alle opstaande driehoeken zijn congruent. De hoogtes $NT$ en $MT$ in dergelijke driehoeken zijn daarom gelijk.

Omdat van $\angle NTS$ de overstaande en de aanliggende rechthoekszijden bekend zijn. Je kunt echter ook eenvoudig $NT$ berekenen en dan kun je ook met sinus of cosinus werken.

Omdat $AC=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}$ is $AS=3\sqrt{2}$.
En dan is $tan(\angle ATS)=\frac{3\sqrt{2}}{8}$ zodat $\angle ATS\approx \mathrm{27,9}°$ en $\angle ATC\approx 56°$.

$AP=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$. Omdat de driehoeken $ASB$ en $PSH$ gelijkvormig zijn (waarom ?) en de verhouding van hun overeenkomstige zijden $1:4$ is, is $AS=\frac{4}{5}\sqrt{17}$.

In rechthoek $ABGH$ is $tan(\angle ABH)=\frac{4\sqrt{2}}{4}$ en dus $\angle ABH\approx \mathrm{54,7}°$.
Verder is $tan(\angle BAP)=\frac{4\sqrt{2}}{1}$ en dus $\angle BAP\approx \mathrm{80,0}°$.
Dit betekent $\angle ASB\approx 180°-\mathrm{80,0}°-\mathrm{54,7}°\approx 45°$

Teken de piramide.

In het grondvlak is $AC=\sqrt{8^2+6^2}=10$. Als $S$ het snijpunt is van $AC$ en $BD$, dan is $ST$ de hoogte van de piramide. Met de stelling van Pythagoras vind je $ST=\sqrt{{10}^2-5^2}=\sqrt{75}=5\sqrt{3}$.

Omdat $sin(\angle ATS)=\frac{5}{10}=\mathrm{0,5}$ is $\angle ATS=30°$ en dus $\angle ATC=60°$.

$\angle BAT$ ligt in de gelijkbenige driehoek $ABT$. Dus $cos(\angle BAT)=\frac{2}{10}=\mathrm{0,2}$ zodat $\angle BAT\approx \mathrm{78,5}°$.

Teken de balk.

Antwoord

Antwoord

Een regelmatig achtzijdig prisma.

De achthoek bestaat uit acht gelijkbenige driehoeken met een tophoek van $360°/8=45°$.
De hoeken van de achthoek worden gevormd door twee basishoeken en zijn daarom $135°$.

Zie figuur. $AP=\mathrm{7,8}\cdot sin(\mathrm{67,5})\approx \mathrm{7,21}$. Dus $AC\approx \mathrm{14,41}$.
En daardoor is $A{M}^2+M{C}^2=2A{M}^2\approx {\mathrm{14,41}}^2$ en dus $AM\approx \sqrt{\mathrm{103,86}}\approx \mathrm{10,19}$.
Het langste staafje op de bodem heeft een lengte van $2\cdot AM\approx \mathrm{20,38}\approx \mathrm{20,4}$ cm.

Ongeveer $\sqrt{{\mathrm{20,38}}^2+{\mathrm{3,3}}^2}\approx \mathrm{20,6}$ cm.

$\sqrt{3^2+8^2}=\sqrt{73}$

$\sqrt{8^2-4^2}=\sqrt{48}$

Zie figuur. De piramide is niet regelmatig, want het grondvlak is geen vierkant.

$EP=\sqrt{5^2+4^2}=\sqrt{41}$ en dus is $AE=\sqrt{41+3^2}=\sqrt{50}$. Zo lang zijn alle opstaande ribben.

Neem aan, dat $M$ het midden van $BC$ is, dan is $MF=\sqrt{5^2+3^2}=\sqrt{34}$.

Dus is $tan(\angle MBF)=\frac{\sqrt{34}}{4}$ zodat $\angle MBF\approx 56°$. De gevraagde hoeken zijn daarom $56°$, $56°$ en $68°$.

$tan(\angle PAE)=\frac{\sqrt{41}}{3}$ zodat $\angle PAE\approx 58°$. De gevraagde hoeken zijn daarom $58°$, $58°$, $122°$ en $122°$.