Stelsels vergelijkingen

Stelsels vergelijkingen > Grafisch oplossen

1234Grafisch oplossen

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

Je kunt dit op verschillende manieren aanpakken, met een tabel of door een variabele te kiezen en een vergelijking te maken, of door twee variabelen te kiezen en twee vergelijkingen te maken. Die laatste methode wordt in dit onderwerp uitgebreid besproken.

Er zijn $117$ kinderkaartjes verkocht.

Opgave 1

Er zijn in totaal $600$ kaarten verkocht betekent dat $k + v = 600$ .

De inkomsten van de kinderkaartjes bedragen $2,50 \cdot k$ en de inkomsten van de kaartjes voor volwassenen bedragen $4,50 \cdot v$ . Omdat de totale inkomsten $2466$ euro zijn, is $2,50 k + 4,50 v = 2466$ .

$k + v = 600$ wordt $v = - k + 600$ .

$2,50 k + 4,50 v = 2466$ wordt $4,5 v = - 2,5 k + 2466$ en dus $v = - \frac{5}{9} k + 548$ .

Doen, teken eventueel de grafieken in GeoGebra en laat het snijpunt door GeoGebra uitrekenen.

Los op: $- k + 600 = - \frac{5}{9} k + 548$ .
Vermenigvuldig met $9$ en je krijgt $- 9 k + 5400 = - 5 k + 4932$ en dus $4 k = 468$ , zodat $k = 468 / 4 = 117$ . Het snijpunt is $(117, 483)$ .

Dat er $117$ kinderkaartjes zijn verkocht.

Opgave 2

Ze zijn samen $x + y = 91$ jaar oud.

Hun leeftijdsverschil is niet veranderd, dus $y - x = x - 26$ .

$x + y = 91$ wordt $y = - x + 91$ .

$y - x = x - 26$ wordt $y = 2 x - 26$ .

Doen, teken eventueel de grafieken in GeoGebra en laat het snijpunt door GeoGebra uitrekenen.

Los op: $- x + 91 = 2 x - 26$ .
Je vindt $x = 39$ . Het snijpunt is $(39, 52)$ .

De vrouw is $39$ jaar en de man is $52$ jaar oud.

Opgave 3

Laat zien, dat je hetzelfde krijgt als in het voorbeeld.

Ga na dat je in beide gevallen dezelfde $y$ -waarde vindt.

Opgave 4

$2 x + y = 7$ wordt $y = - 2 x + 7$ .

$x + 3 y = 16$ wordt $y = - \frac{1}{3} x + \frac{16}{3}$ .

Oplossen: $2 x + 7 = - \frac{1}{3} x + \frac{16}{3}$ .
Dit geeft $x = 1$ en na invullen ook $y = 5$ .

Oplossing: $(1, 5)$

Ga na dat je in beide gevallen dezelfde $y$ -waarde vindt.

Opgave 5

$3 x - 2 y = 5$ kun je herleiden tot $y = 1,5 x - 2,5$ .

Beide vergelijkingen kun je dus schrijven als een lineaire functie met dezelfde richtingscoëfficiënt. Het zijn twee evenwijdige lijnen en er is daarom geen snijpunt. Het stelsel heeft dus geen oplossing.

Opgave 6

$l \cdot b = 589$ wordt $l = \frac{589}{b}$ .

$2 l + 2 b = 120$ wordt $l = - b + 60$ .

Je neemt alleen niet-negatieve waarden voor $l$ en $b$ .

De grafiek van $l = \frac{589}{b}$ wordt een hyperbool. Om die goed te kunnen tekenen is een tabel nodig.
De grafiek gaat onder andere door de punten $(1, 589)$ , $(19, 31)$ , $(31, 19)$ en $(589, 1)$ .

De grafiek van $l = - b + 60$ is een rechte lijn door $(0, 60)$ en $(60, 0)$ .

$\frac{589}{b} = - b + 60$ geeft $589 = - b^{2} + 60 b$ en dus $b^{2} - 60 b + 589 = 0$ .

Deze kwadratische vergelijking kun je oplossen met de abc-formule (als je de ontbinding niet zo snel ziet). Je vindt $b = 19 \lor b = 31$ .

Opgave 7

$x \cdot y = 836$ wordt $y = \frac{836}{x}$ .

$x + y = 60$ wordt $y = - x + 60$ .

$\frac{836}{x} = - x + 60$ geeft $836 = - x^{2} + 60 x$ en dus $x^{2} - 60 x + 836 = 0$ .

Deze kwadratische vergelijking kun je oplossen met de abc-formule (als je de ontbinding niet zo snel ziet). Je vindt $x = 22 \lor x = 38$ .

De oplossingen zijn $(22, 38)$ en $(38, 22)$ .

Opgave 8

Schrijf het stelsel als $y = - \frac{2}{3} x + 2 \land y = \frac{3}{4} x - 3$ .

Je moet dan oplossen $- \frac{2}{3} x + 2 = \frac{3}{4} x - 3$ ofwel $- 8 x + 24 = 9 x - 36$ .
Dit levert op $17 x = 50$ en dus $x = \frac{50}{17}$ .
De oplossing wordt $(\frac{50}{17}, \frac{2}{51})$ .

Nu hoef je alleen de tweede vergelijking te herleiden tot $y = 0,5 x - 5$ .

$- 0,5 x + 1,5 = 0,5 x - 5$ geeft $x = 6,5$ .
De oplossing wordt $(6,5; - 1,75)$ .

Schrijf het stelsel vergelijkingen als $y = 0,5 y - 0,5 \land y = 0,5 x + 8$ .

Je ziet dan dat het om twee verschillende evenwijdige rechte lijnen gaat. Er is dus geen oplossing, dit is een strijdig stelsel.

Schrijf het stelsel vergelijkingen als $y = \frac{12}{x} \land y = x - 1$ .

$\frac{12}{x} = x - 1$ geeft $12 = x (x - 1)$ en dus $x^{2} - x - 12 = (x - 4) (x + 3) = 0$ . Dit betekent $x = 4 \lor x = - 3$ .
De oplossingen zijn $(4, 3)$ en $(- 3, - 4)$ .

Opgave 9

Als $d$ de prijs van een den en $d$ die van een spar is, dan vind je $12 d + 15 s = 162 \land 16 d + 11 s = 160,2$ .

Je herleidt dit tot $d = - \frac{5}{4} s + \frac{27}{2} \land d = - \frac{11}{16} s + \frac{160,2}{16}$ .
Je moet oplossen $- \frac{5}{4} s + \frac{27}{2} = - \frac{11}{16} s + \frac{160,2}{16}$ , dus $- 20 s + 216 = - 11 s + 160,2$ , zodat $s = 6,20$ .
De sparren kosten € 6,20 per stuk en de dennen kosten € 5,75 per stuk.

Opgave 10

Als $l$ de lengte en $b$ breedte van de hal in m is, dan vind je $l \cdot b = 120 \land l = b + 7$ .

Je moet oplossen $\frac{120}{b} = b + 7$ , dus $b^{2} + 7 b - 120 = (b - 15) (b + 8) = 0$ . Dit geeft $b = 15$ (de negatieve $b$ -waarde vervalt.
De afmetingen van de hal zijn $15$ m bij $8$ m.

Opgave 11

Eerst de coördinaten van punt $C$ , het snijpunt van $A C$ en $B C$ berekenen. Daarvoor maak je formules bij deze twee lijnen:

lijn $A C$ : $y = 1,5 x - 0,5$
lijn $B C$ : $y = - 0,5 x + 4,5$

Voor het snijpunt van beide lijnen los je op $1,5 x - 0,5 = - 0,5 x + 4,5$ . Dit geeft $x = 2,5$ en dus $y = 3,25$ . Je vindt $C (2,5; 3,25)$ .

De oppervlakte van driehoek $A B C$ is dus $\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2,25 = 6,75$ eenheden.

Opgave 12

Achilles loopt $10$ m in elke seconde en heeft dus na $t$ seconden $10 \cdot t$ meter afgelegd.
De schildpad loopt $0,1$ m in elke seconde en heeft dus na $t$ seconden $0,1 \cdot t$ meter afgelegd. Verder heeft hij $200$ m voorsprong.

$10 t = 200 + 0,1 t$ geeft $t = 2000 / 99 = 20,222...$ seconden.

Na iets meer dan $202$ m lopen.

Opgave 13Papierformaten

Papierformaten

De breedte van A0 is de lengte van A1, dus de lengte van A1 is $b$ . De oppervlakte van A1 is de helft van die van A0, dus die oppervlakte is $0,5 l b$ . De breedte van A1 is daarom $0,5 l$ Omdat de verhoudingen van lengte en breedte constant zijn geldt: $\frac{l}{b} = \frac{b}{0,5 l}$ . En dat levert de gegeven formule op.

$l^{2} = 2 b^{2} \land l b = 1$

Schrijf ze als $l = \sqrt{2} \cdot b \land l = \frac{1}{b}$ .
Je moet dan nog oplossen: $\sqrt{2} \cdot b = \frac{1}{b}$ . Dit geeft $\sqrt{2} \cdot b^{2} = 1$ en dus $b^{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ . Hiermee vind je $b \approx 0,840$ en $l \approx 1,189$

Het A0-formaat is $840$ bij $1189$ mm.
Het A4-formaat is $210$ bij $298$ mm.

Opgave 14

Oplossing: `x=16/3` en `y=8/3` .

Oplossing: `x~~1,4` en `y~~7,3` of `x~~14,6` en `y~~0,7` .

Opgave 15

Het aantal kaartjes voor de tweede rang is `125` .

verder | terug